Extension de Galois - Définition
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Définitions et exemples
Définitions
Dans la suite de l'article K est un corps, L une extension algébrique de K, l un élément de L et Ω la clôture algébrique de K. L est identifié à un sous-corps de Ω, ce qui ne nuit en rien à la généralité de l'exposé comme indiqué dans l'article clôture algébrique d'une extension dans le cas ou l'extension est finie.
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- Une extension est dite normale si et seulement si tout morphisme de L, laissant invariant K est un automorphisme de L.
Remarque: Un morphisme de corps est toujours injectif. Le morphisme est aussi un morphisme d'espace vectoriel car L dispose d'une structure d'espace vectoriel sur K. Donc, si L est une extension finie, alors il suffit que le morphisme ait une image incluse dans L pour qu'un argument de dimension prouve la surjectivité.
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- Une extension est dite de Galois ou galoisienne si et seulement si elle est normale et séparable.
Remarque: Une extension est dite séparable si et seulement si tout élément l admet un polynôme minimal sur K n'ayant aucune racine multiple. L'article sur les extensions algébriques évoque succinctement l'existence d'un polynôme minimal. Et si K est un corps parfait par exemple parce qu'il est de caractéristique 0 comme les nombres rationnels, les nombres réels ou les nombres complexes ou parce qu'il est fini, alors L est toujours séparable (cf Extension séparable).
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- Le groupe des automorphismes de L munis de la loi de composition des applications est appelé le groupe de Galois et est souvent noté Gal(L/K).
Remarque: Gal(L/K) est un ensemble non vide car il contient au moins l'identité. On peut vérifier qu'il possède une structure de groupe.
Exemples
Le corps des nombres complexes est une extension de Galois du corps des nombres réels. C'est une extension simple (c’est-à-dire engendrée par le corps des nombres réels et un seul élément supplémentaire) dont le groupe de Galois est le groupe cyclique d'ordre 2.
L'extension simple engendrée par la racine cubique de deux sur le corps des rationnels n'est pas une extension de Galois. En effet, ce corps ne contient pas toutes les racines, il existe donc un morphisme de L dont l'image n'est pas L.
L'extension engendrée par la racine cubique de deux et i, le nombre imaginaire pur, est une extension de Galois. Cette extension est de dimension six et contient un groupe de Galois isomorphe au groupe de permutation de trois éléments.
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- Le corps des nombres complexes est une extension de Galois du corps des nombres réels.
Le corps des nombres complexes est une extension de dimension deux sur le corps des nombres réels. C'est donc une extension simple engendrée par l'imaginaire pur i. Comme le corps des nombres complexes est algébriquement clos, tout morphisme de ce corps vers une extension quelconque laissant les nombres réels invariants est un automorphisme. Soit σ un automorphisme différent de l'identité. Un automorphisme permute les racines d'un polynôme à coefficients dans le corps de base. Donc σ(i) est une racine du polynôme X2+1 au même titre que i. Et σ(i) est différent de i car sinon σ serait l'identité sur une base des nombres complexes: (1, i) et serait donc égal à l'identité. Le polynôme précédent n'admet que deux racines car il est de degré deux. On vérifie que les deux racines sont i et -i. L'image de la base (1, i) par σ est donc (1, -i). Cela signifie que σ est l'application conjuguée. Il est simple de vérifier que σ est effectivement un automorphisme d'ordre deux. Le groupe de Galois est donc bien un groupe à deux éléments isomorphe au groupe cyclique d'ordre deux.
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- L'extension simple L engendrée par la racine cubique de deux sur le corps des rationnels n'est pas une extension de Galois.
Il est aisé de vérifier que L possède pour base la famille des trois éléments un, la racine cubique de deux et la racine cubique de quatre. La démonstration est donnée par la première proposition du paragraphe Extension algébrique et polynôme appliquée au polynôme P[X]=X3-2. Or si l'on note r =
![j.\sqrt[3]{2}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/763cc30e7628e1a08b3b246c690c9cd8_10bc2747425464abb0a8137a46765c13.png)
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- L'extension L' engendrée par la racine de cubique de deux et i le nombre imaginaire pur est une extension de Galois. Cette extension est de dimension six et contient un groupe de Galois isomorphe au groupe de permutation de trois éléments.
L' est une extension de degré deux sur L car i est d'ordre deux sur L. La deuxième proposition du paragraphe Définitions et premières propriétés des extensions algébriques montre que [L':Q]=[L':L].[L:Q] et L' est une extension de dimension six sur les nombres rationnels.
L' est le corps de décomposition du polynôme P[X] (le corps de décomposition est défini dans le paragraphe Extension algébrique et sur-corps, c'est le plus petit corps contenant toutes les racines d'un polynôme). En effet, les trois racines du polynôme sont la racine cubique de deux r et le conjugué de r. Le corps de décomposition de P[X] contient strictement L, sa dimension est donc un multiple strict de celle de L. Or six est le plus petit multiple strict de trois, le corps de décomposition de P[X] est donc au moins de dimension six et L' qui est de dimension six contient manifestement les trois racines.
Le théorème de l'élément primitif garantit qu'il existe exactement six morphismes de L' dans la clôture algébrique du corps des nombres rationnels. Or tout morphisme de corps donne pour image d'une racine du polynôme P[X] une racine de P[X]. La restriction d'un morphisme aux trois racines est donc une permutation des trois racines. Il existe exactement six permutations possible. Les six morphismes sont donc les extensions des six permutations car les racines engendrent L' . L'extension à L' de ses permutations laisse L' stable, ce qui démontre que l'extension est galoisienne et que le groupe des morphismes est isomorphe au groupe de permutation de trois éléments.
