Extension de Galois - Définition

Histoire

À l'origine de l'abstraction : les groupes

Évariste Galois

Ce sont les polynômes qui ont initialisé la démarche qui finit par la construction des extensions de Galois. Lagrange remarque que la résolution d'une équation polynomiale par une méthode algébrique est intimement liée à l'étude de certaines permutations dans l'ensemble des racines. Il établit alors un premier théorème qui est maintenant généralisé à tous les groupes finis. Paolo Ruffini étudie plus spécifiquement le groupe des permutations d'ordre cinq, établit des résultats importants comme l'existence d'un sous-groupe d'ordre cinq et est le premier convaincu de l'impossibilité de la résolution générale d'une équation quintique. Si l'analyse systématique des groupes de permutations est démarrée, elle est néanmoins insuffisante pour conclure.

Algèbre et géométrie

A l'aube du XIX^e siècle Carl Friedrich Gauss établit un nouveau lien entre l'algèbre des polynômes et la géométrie. Il met en évidence le lien entre les polynômes cyclotomiques et la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Ces travaux permettent la construction du polygone régulier à 17 côtés. Si Gauss a l'intuition que cette démarche permet la résolution des trois grands problèmes de l'antiquité, il faut néanmoins attendre le résultat des travaux de Pierre-Laurent Wantzel pour conclure.

La structure de groupe abstraite

La naissance de l'algèbre moderne est généralement attribuée à Evariste Galois . Il est en effet le premier à utiliser une démarche totalement abstraite et à parler de la structure de groupe en général. Ces travaux sont redécouverts après sa mort par Joseph Liouville en 1843 qui les publie. L'algèbre abstraite entre alors dans le domaine de l'arithmétique et Liouville utilise cette théorie pour réaliser une percée majeure en 1844 dans le domaine de la théorie des nombres en démontrant l'existence de nombres transcendants.

La structure d'anneau et de corps

Pour obtenir de nouvelles percées dans le domaine de l'arithmétique Ernst Kummer poursuit les travaux de Gauss sur les polynômes cyclotomiques et met en évidence la notion de nombre complexe idéal et prouve dans de nombreux cas le grand théorème de Fermat. Une démarche analogue à celle des groupes permet petit à petit de dégager la notion abstraite d'anneau et de corps, elle apparaît pour la première fois sous la plume de Richard Dedekind .

La formalisation moderne de la structure d'anneau provient d'une synthèse de David Hilbert . Elle contient l'origine de la théorie des corps de classe. La théorie générale des corps apparaît plus tard, à la suite des travaux de Ernst Steinitz . Cette théorie contient les concepts modernes comme l'extension de corps la dimension d'une extension ou l'extension séparable. La formalisation actuelle de l'extension de Galois et du théorème fondamental de la théorie de Galois est l'œuvre d'Emil Artin .

Propriétés

Propriétés élémentaires

Les propriétés établies pour les extensions séparables possèdent des corollaires dans le cas des extensions de Galois. Ce sont ces corollaires qui sont énoncées ici. Ce sont essentiellement des conséquences du théorème de l'élément primitif démontré dans l'article Extension séparable.

• Le cardinal du groupe de Galois est inférieur ou égal à la dimension de L sur K.

Remarque: c'est une conséquence directe de la deuxième proposition du paragraphe Morphisme dans la clôture algébrique.

• Le cardinal du groupe de Galois est égal à la dimension de L sur K si et seulement si l'extension est galoisienne.

• On suppose que L est une extension finie (c’est-à-dire que la dimension de L sur K est finie). le fait que tout polynôme irréductible à coefficients dans K ayant au moins une racine dans L ait toutes ses racines dans L est une condition nécessaire et suffisante pour que l'extension L soit normale sur K.

Théorème fondamental de la théorie de Galois

Article détaillé: Théorème fondamental de la théorie de Galois

Il existe une correspondance entre les sous-corps d'une extension de Galois de dimension finie et les sous-groupes du groupe de Galois. Cette correspondance établit une équivalence entre certaines propriétés des sous-corps et celle des sous-groupes. Par exemple un sous-corps est une extension galoisienne si et seulement si le sous-groupe associé est distingué. Dans le cadre de la théorie des extensions finies, cette correspondance est un résultat fondamental de la théorie de Galois. Quatre propriétés résument cette correspondance:

• Lemme d'Artin: Soit L un corps et G un groupe fini d'automorphismes de corps de L. Alors l'ensemble K des éléments laissés invariants par chaque élément de G est un sous-corps. De plus, L est une extension galoisienne de K.

Soit L une extension de Galois de dimension finie sur K et G son groupe de Galois. Soit H un sous-groupe de G et L^H l'ensemble de L contenant tous les éléments de L invariant par chaque élément de H. Alors les deux propositions suivantes sont vérifiées:

• L'ensemble des éléments de L laissés invariants par tous les membres de G est K.
• Soit F un sous-corps de L contenant K, alors L est une extension galoisienne de F et le groupe de Galois associé est l'ensemble des éléments de G qui laisse F invariant.

Ces propositions permettent de démontrer le:

• Théorème fondamental de la théorie de Galois.

L^H est un sous-corps de L, L est une extension galoisienne de L^H et H est le groupe de Galois de l'extension L de L^H.

L'application de l'ensemble des sous-groupes du groupe G dans les sous-corps de L qui à chaque sous-groupe H associe L^H est une bijection.

L'extension L^H de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G. Alors le groupe de Galois de L^H est isomorphe au groupe quotient G/H.

Remarque: la démonstration est données dans l'article détaillé.

• Soit L un corps et G un groupe fini d'automorphisme de corps de L. Alors l'ensemble K des éléments l laissé invariant par chaque élément de G est un sous-corps. De plus, L est une extension galoisienne de K.

L'ensemble K est non vide car il contient l'unité, il est stable par addition, multiplication et passage à l'inverse, c'est donc un sous-corps de L.

Montrons que L est algébrique et séparable.

Soit l un élément de L et G_l le stabilisateur de l dans G et g un élément de G. On remarque que l'action de g sur l est indépendante du représentant de la classe à gauche de g quotient du groupe par G_l. Le polynôme suivant, à coefficient dans L est donc bien défini:

On remarque alors que l est une racine simple du polynôme et que tous les coefficients du polynômes sont invariants par l'action d'un élément quelconque h de G car

Les coefficients de P[X] sont donc tous éléments de K. Ce résultat montre que l est racine d'un polynôme à coefficient dans K sans racine multiple. L'extension L est à la fois algébrique et séparable.

Montrons que L est de dimension finie sur K.

Soit E un sous-espace vectoriel de L sur K de dimension finie. Soit F la plus petite extension sur K contenant E. F est une extension finie et séparable, le théorème de l'élément primitif garantit l'existence d'un élément f de F tel que F = K(f) car L est séparable. La construction précédente montre que le polynôme minimal de f sur K qui divise P_f[X] est de degré inférieur ou égal au cardinal de G. Donc la dimension de E est inférieur ou égal au cardinal de G. L ne contient que des sous-espaces vectoriels de dimension inférieure ou égale au cardinal de G, c'est donc un espace vectoriel de dimension inférieure ou égale au cardinal de G et L est de dimension finie.

Montrons que L est normal sur K;

La dernière proposition du paragraphe précédent montre qu'il suffit de vérifier que tout polynôme irréductible à coefficients dans K ayant une racine dans L a toutes ses racines dans L. Soit Q[X] un tel polynôme et r une racine de Q[X] dans L. Q[X] est un diviseur du polynôme P_r[X]. Or P_r[X] est scindé et a toutes ses racines dans L. Il en est donc de même pour Q[X] et la démonstration est terminée.

• L'ensemble des éléments de L laissés invariants par tous les membres de G est K.

Soit l un élément de L qui n'est pas dans K. Soit P[X] son polynôme minimal dans K et K₁ le corps de décomposition de P[X] sur K. K₁ est inclus dans L d'après le paragraphe précédent. Soit r une racine de P[X] différente de l. Alors il existe un morphisme m de corps de K₁ dans Ω laissant invariant K d'après la première proposition du paragraphe Extension algébrique et sur-corps tel que m(l) = r. Ce morphisme s'étend à un morphisme de corps m' de L d'après l'avant dernière proposition du paragraphe Morphisme dans la clôture algébrique. Comme L est galoisien, m' est un automorphisme de L qui ne laisse pas l invariant. La contraposée démontre le résultat.

• Soit F un sous-corps de L, alors L est une extension galoisienne de F et le groupe de Galois associé est l'ensemble H des éléments de G qui laisse F invariant.

Montrons que H est un sous-groupe. H est non vide car il contient l'identité. H est stable par composition et passage à la réciproque, ceci montre qu'il est bien un sous-groupe de G.

L est séparable sur F d'après la deuxième proposition du paragraphe Cas des extensions et des corps. Tout automorphisme de L laissant invariant F laisse aussi K invariant, l'extension est donc normale. Enfin tout élément du groupe de Galois de L sur F est par définition un élément du groupe de Galois de L sur K, élément du stabilisateur de F.