En mathématiques et plus précisément en algèbre dans la théorie de Galois, le corps de décomposition d'un polynôme formel P(X) est la plus petite extension de corps contenant toutes les racines de P(X). On montre qu'une telle extension existe toujours.
Un corps de décomposition d'un polynôme est une extension finie et normale. S'il est séparable, c'est une extension de Galois.
Toute la théorie de Galois s'applique, un tel corps bénéficie de théorèmes puissants, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois. De nombreux problèmes se résolvent alors à l'aide de cette structure. On peut citer par exemple le théorème d'Abel ou la détermination des polygones constructible à la règle et au compas.
Les notations suivantes sont utilisées pour tout l'article, soit K un corps, P(X) un polynôme à coefficients dans K et Ω une clôture algébrique de K. Le polynôme P(X) désigne un polynôme formel, par opposition à une fonction polynôme, il est construit à l'aide d'une indéterminée noté X et non pas une variable x.
L est isomorphe à un sous-corps de Ω, il est donc possible d'identifier L à un sous-corps de Ω comme le prouve le paragraphe Extension algébrique et clôture algébrique. Cette identification est réalisée dans le reste de l'article.
Si r1, ..., rn sont les racines de P(X) dans L, alors L s'identifie à K(r1, ..., rn). La démonstration de l'existence du corps de décomposition se trouve dans le paragraphe Extension algébrique et polynôme.
Remarque: Il existe une autre convention, le corps de décomposition d'un polynôme P(X) sur K désigne toute extension contenant toutes les racines de P(X), le corps minimal est alors appelé le corps des racines.
Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Extension algébrique et sur-corps.
Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Extension algébrique et sur-corps.
En effet, si P n'est pas irréductible, il existe deux polynômes P1 et P2 de degré strictement positif tel que P soit égal à P1.P2. Soient α (resp. β) une racine de P1 (resp. P2) et σ un élément du groupe de Galois. Le polynôme minimal de σ(α) est égal à P1, celui de β à P2, on en déduit que σ(α) ne peut être égal à β, ce qui revient à dire que le groupe n'opère pas transitivement.
Réciproquement si P est irréductible, soient α et β deux racines de P. Soit m le morphisme de K(α), dans K(β) qui à α associe β. L'avant dernière proposition du paragraphe Morphisme dans la clôture algébrique de l'article Extension séparable montre que le morphisme de corps m se prolonge en un automorphisme σ du corps de décomposition. Il existe ainsi un élément σ du groupe de Galois tel que σ(α) = β, ce qui montre que le groupe opère transitivement.