Racine cubique - Définition et Explications

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En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire multiplié par lui-même trois fois) vaut y ; en d'autres termes, y = x3. La racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la...) de y est notée \sqrt(lien){y}.

Par exemple, la racine cubique de 8 est 2, car 2 × 2 × 2 = 8. La racine cubique tient son nom du cube : la racine cubique du volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) d'un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....) est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) des arêtes. On écrit :

\sqrt(lien){8} = 2

Un autre exemple, la racine cubique de -27 est -3, car (-3) × (-3) × (-3) = -27

\sqrt(lien){-27} = -3

Une racine cubique d'un nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...) z est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) u qui élevé au cube donne z; c'est-à-dire tel que u3 = z.

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) nombre complexe non nul admet trois racines cubiques distinctes.

Formellement, la racine cubique d'un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) (ou complexe) x est un réel (ou complexe) y solution de l'équation :

y^3 = x~

que l'on peut également noter lorsque y est réel strictement positif avec un exposant :

y = x^{1\over3}

La racine cubique est associative avec les exposants, distributive avec la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) et la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...), mais pas avec l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) ou la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...).

Un complexe non nul possède trois racines cubiques. Un nombre réel possède une unique racine cubique réelle, mais on peut en trouver deux autres complexes, conjuguées l'une de l'autre, si l'on se place dans le domaine complexe.

Par exemple, les racines de l'unité (1) sont :

1, j={-1 + i\sqrt{3}\over2} = e^{i\frac{2\pi}{3}} et j²={-1 - i\sqrt{3}\over2}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}.

On a alors la relation: 1+j+j²=0

Si R est une racine d'un nombre réel ou complexe, les deux autres racines peuvent être retrouvées en multipliant R par les deux racines cubiques complexes de l'unité.

Calcul facile de la racine cubique

Une méthode simple permet de calculer la racine cubique d'un nombre en n'utilisant qu'une simple calculette non scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...).

  • Entrer le nombre dont la racine cubique est désirée
  • Appuyer une fois sur le bouton racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...)
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • Appuyer deux fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • Appuyer quatre fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • Appuyer huit fois sur le bouton racine carrée
  • Appuyer une fois sur le bouton multiplication
  • ...

Répéter ainsi jusqu'à ce que l'affichage (L' affichage désigne l'application d'une surface de papier script dans un lieu public(et non du...) soit 1 (et donc ne change plus). Appuyer une fois encore sur multiplication puis une (seule) dernière fois sur le bouton racine carrée. Le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) qui s'affiche alors est une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) — très proche — de la racine cubique du nombre initial.

Principe de la méthode

Il est possible de démontrer que

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots,

Après avoir élevé x à la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) 1/3 en utilisant la relation précédente, nous obtenons:

x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) ...} (*)

Le membre de gauche est la racine cubique de x.

Les différentes étapes de cette méthode sont:

À la première étape:

x^{\frac{1}{2}}

À la quatrième étape:

x^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2^2})}

À la sixième étape:

x^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2^2}) (1 + \frac{1}{2^4})}

À la huitième étape:

x^{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2^2}) (1 + \frac{1}{2^4}) (1 + \frac{1}{2^8})}

etc.

Après avoir calculé un nombre suffisant de termes selon la précision de la machine à calculer, l'extraction de la dernière racine carrée donne le membre de droite de la relation (*).

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