Extension de Galois - Définition

Introduction

En mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension de corps finie normale séparable.

L'ensemble des automorphismes de l'extension possède une structure de groupe appelé groupe de Galois. Cette structure de groupe caractérise l'extension ainsi que ces sous-corps.

Les extensions de Galois sont des structures largement utilisées pour la démonstration de théorèmes en théorie algébrique des nombres comme le Dernier théorème de Fermat ou en théorie de Galois pure comme le théorème d'Abel-Ruffini.

Motivation

Les problèmes initiaux

Joseph Louis Lagrange

La démarche qui débouche sur la notion d'extension de Galois provient de la volonté de résoudre des conjectures, souvent vieilles et provenant de différentes branches des mathématiques: l'algèbre avec l'étude des équations algébriques et particulièrement les équations polynômiales, la géométrie avec initialement les problèmes de la construction à la règle et au compas et particulièrement les trois grands problèmes de l'antiquité comme la duplication du cube et surtout les problèmes d'arithmétique comme le grand théorème de Fermat.

La philosophie de l'approche

Tous les problèmes initiaux cités s'expriment simplement, leurs énoncés ne demandent en effet qu'un niveau mathématique élémentaire. En revanche leurs résolutions ont demandé des siècles de patience. La raison réside dans le fait qu'une approche naïve ne permet que mal d'appréhender les finesses qu'impliquent les énoncés. Pour apporter des solutions, il est nécessaire de comprendre les structures sous-jacentes à chacune de ces questions. Une analyse directe impose une démarche calculatoire trop complexe pour aboutir.

Quitte à augmenter le niveau d'abstraction, il apparaît alors nécessaire de définir des structures algébriques pures, bénéficiant de théorèmes puissants qui résolvent ces vieux problèmes.

Cas de l'extension de Galois

Une extension de Galois est une construction algébrique utilisant trois structures, celle des groupes, celle des corps et celle des espaces vectoriels.

La structure de groupe permet par exemple l'analyse des permutations des racines d'un polynôme. Or l'analyse des permutations est la clé de la recherche des solutions algébriques d'une équation polynômiale. Dans le cas de l'équation quintique ou équation du cinquième degré, il existe 120 permutations possibles. Trouver quelles permutations utiliser et dans quel ordre, est apparu comme un problème combinatoire d'une complexité trop grande pour les mathématiciens comme Joseph-Louis Lagrange qui se sont penchés sur cette question.

L'analyse systématique des groupes finis non plus sous un axe combinatoire, mais avec une approche abstraite permet, en échange d'une montée en abstraction, une résolution calculatoirement relativement simple par exemple pour le cas de l'équation quintique. Ludwig Sylow démontre les trois théorèmes qui terminent élégamment l'analyse des équations polynômiales.

Un théorème fondamental

L'extension de Galois est archétypale de cette approche algébrique pure.Et cette structure dispose d'un théorème puissant, à la base de toutes les résolutions modernes des différents problèmes cités. C'est le Théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce théorème établit une relation entre un corps et un groupe. Il permet d'établir un pont entre la théorie des groupes et les problèmes d'algèbre de géométrie ou d'arithmétique étudié. Dans l'énoncé du théorème fondamental, le corps, le groupe et la correspondance entre les deux sont abstraits. En échange de cette abstraction, l'extension de Galois offre un cadre très général à l'étude de nombreux problèmes.