Par l'intermédiaire de la fonction
de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir.
Calcul d'intégrales
Outre celles déjà données précédemment, on a, pour , sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction eta de Dirichlet pour les points s = 1 + 2ikπ / ln(2),
Grâce à une étude numérique de la fonction
, Rosser et Schoenfeld ont montré que
La borne inférieure a été améliorée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1,
Le problème des moments
Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de
dans la bande critique. Le problème de l'ordre moyen est lui, partiellement résolu. Il prend la forme de l'estimation de l'expression
Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet:
« Soient
et
deux séries de Dirichlet absolument convergentes, la première pour et la seconde pour .
Alors, pour α > σ0 et β > σ0, on a
»
En l'appliquant à la fonction
, on trouve immédiatement, pour σ > 1
et
On a donc cherché à étendre ces formules pour
.
Le problème général des moments est donc l'évaluation des intégrales dépendantes de k, pour
Les résultats, désormais classiques, sont les suivants:
Pour le moment d'ordre 2 en σ = 1 / 2
Pour le moment d'ordre 2 en σ > 1 / 2
Pour le moment d'ordre 4 en σ = 1 / 2
Pour le moment d'ordre 4 en σ > 1 / 2
Carlson a montré que, si l'on appelle σk la borne inférieure des σ pour lesquels on a
alors
pour 0 < α < 1. La quantitéμk(α) étant l'équivalent de la fonction μ de
pour la fonction ζk.
Les moments d'ordre supérieur à 4 font encore l'objet d'intenses recherches. On sait qu'il existe une constante C(k) telle que
pour
et on conjecture qu'il en est ainsi pour les k supérieurs à 6, en particulier 8.
L'importance du problème des moments est liée à l'hypothèse de Lindelöf.
, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction eta de Dirichlet pour les points s = 1 + 2ikπ / ln(2),
:
et la seconde pour
.
