Hypothèse de Riemann - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs est disponible ici.
Représentation de la valeur absolue de la fonction Zeta de Riemann.
Représentation de la valeur absolue de la fonction Zeta de Riemann.

L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction Zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions...) de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

Cette conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que...) constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert (Lors du deuxième congrès international des mathématiciens tenu à Paris en 1900,...) proposés en 1900, et fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) d'un des problèmes Clay pour le troisième millénaire (Un millénaire est une période de mille années, c'est-à-dire de dix siècles.), doté d'un prix d'un million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf...) d'USD !

Historique

Riemann mentionna la conjecture, qui sera appelée plus tard hypothèse de Riemann (L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard...), dans son article paru en 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...))[1], mais cette conjecture n'étant pas le sujet principal de son article, il n'attend pas de démonstration. Riemann savait que les zéros non triviaux de la fonction Zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de...) étaient distribués symétriquement autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de la ligne s = \frac{1}{2} + it\, et savait que tous les zéros non triviaux se trouvaient dans la bande 0 \le Re(s) \le 1.

En 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin prouvèrent indépendamment qu'aucun zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) ne pouvait se trouver sur la ligne Re(s) = 1\,, ainsi que tous les zéros non triviaux devaient se trouver dans l'intérieur de la bande critique 0 < Re(s) < 1. Ceci était un résultat clé dans la première démonstration complète du théorème des nombres premiers (En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat...).

En 1900, Hilbert incluait l'hypothèse de Riemann dans sa célèbre liste de 23 problèmes non résolus — il fait partie du 8e problème, celle-ci comprenant aussi la conjecture de Goldbach (La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair strictement supérieur à 2...). Il aurait dit à propos de ce problème : " Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : L'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée ? ". L'hypothèse de Riemann est le seul problème de Hilbert à figurer dans la liste des problèmes du prix du millénaire de l'institut (Un institut est une organisation permanente créée dans un certain but. C'est...) de mathématiques Clay.

En 1914, Hardy a prouvé qu'il y avait une infinité de zéros sur la droite critique Re(s) = \frac{1}{2}\,. Cependant il reste possible qu'il y ait une infinité de zéros non triviaux ailleurs que sur la droite critique. Des travaux ultérieurs de Hardy et Littlewood en 1921 et de Selberg en 1942 ont donné une estimation de la densité moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) de zéros sur la droite critique.

Des travaux récents se sont focalisés sur le calcul explicite d'endroits où il se trouve beaucoup de zéros (dans l'espoir de trouver un contre-exemple) et de placer des bornes supérieures sur la proportion de zéros se trouvant ailleurs que sur la droite critique (dans l'espoir de la réduire à zéro).

Tests numériques

En l'absence de démonstration validée par la communauté internationale des mathématiciens, Andrew M. Odlyzko s'est spécialisé dans le calcul numérique des zéros non triviaux de la fonction Zeta. On affirme ainsi généralement que le milliard (Un milliard (1 000 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent...) et demi de zéros calculés vérifient tous l'hypothèse de Riemann ; ce qui signifie qu'ils sont positionnés assez près, de la droite critique (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) que l'imprécision de calcul est telle qu'ils peuvent y être exactement).

Essais de démonstration

De nombreuses preuves supposées de l'hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées, principalement sur Internet (Internet est le réseau informatique mondial qui rend accessibles au public des services...), ainsi que quelques infirmations, souvent le fait de mathématiciens en marge du système universitaire traditionnel. Aucun de ces travaux n'a pour le moment reçu l'assentiment de la communauté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...).

Le site (lien) recense quelques-unes de ces supposées preuves.

Un exemple de travail récemment déposé, le 12 mars 2006, sur la base de données (En informatique, une base de données (Abr. : « BD » ou...) scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...) Arxiv (arXiv (à prononcer comme on prononce « archive » en anglais, avec le...) est celui de Sze Kui Ng : Quantum knots and Riemann hypothesis.

Page générée en 0.039 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise