Grand cardinal - Définition

Hiérarchie de cohérence relative

Une observation remarquable concernant ces axiomes est qu'ils semblent être complètement ordonnés par leur cohérence relative, c'est-à-dire qu'aucune exception n'est connue à la règle suivante : étant donnés deux axiomes de grands cardinaux A1 et A2, une et une seule des trois possibilités (mutuellement exclusives) suivantes se produit :

1. ZFC montre que "ZFC+A1 est cohérente si et seulement si ZFC+A2 est cohérente",
2. ZFC+A1 montre que ZFC+A2 est cohérente,
3. ZFC+A2 montre que ZFC+A1 est cohérente.

Dans le cas 1, on dit que A1 et A2 sont équicohérents ; dans le cas 2, que A1 est plus fort que A2, et enfin que A2 est plus fort que A1 dans le cas 3. Si A2 est plus fort que A1, ZFC+A1 ne peut prouver la cohérence de ZFC+A2, même en adjoignant l'hypothèse que ZFC+A1 est cohérente (en supposant, bien sûr, qu'elle le soit vraiment) : cela résulte du théorème d'incomplétude de Gödel. Le fait que cet ordre soit total n'est nullement un théorème (Saharon Shelah a demandé "s'il existait un théorème expliquant ce fait, ou si notre vision était simplement plus limitée que nous ne le pensons"), mais seulement une observation concernant les propriétés de grand cardinal déjà rencontrées, et, en l'absence d'une définition rigoureuse de ces propriétés, il serait au demeurant difficile de construire une telle preuve ; cependant Woodin a pu déduire ce résultat de la Ω-conjecture, principal problème ouvert de sa Ω-logique. D'autre part, on ne sait pas toujours laquelle des trois possibilités est la vraie, car, par exemple, si ZFC montre que "A1 implique A2", on sait seulement qu'on est dans le cas 1 ou 2. Il faut enfin remarquer que cet ordre n'est pas nécessairement le même que celui de la taille du plus petit cardinal satisfaisant à la propriété en question. Par exemple, l'existence d'un cardinal "énorme" est une propriété beaucoup plus forte que l'existence d'un cardinal supercompact, mais en supposant que les deux existent, le plus petit cardinal énorme est plus petit que le premier supercompact.

Exemples de propriétés de grand cardinal

Les théoriciens recensent plus de quarante axiomes de grands cardinaux ; la plupart correspondent à des propriétés assez abstraites de la théorie des modèles, mais les deux propriétés détaillées ci-dessous ont un contenu un peu plus intuitif : les cardinaux inaccessibles sont les "plus petits" cardinaux que ZFC ne peut construire, tandis que la définition des cardinaux mesurables, apparemment assez innocente, amène en fait à considérer des cardinaux vraiment énormes.

Cardinaux inaccessibles

Intuitivement, un cardinal est inaccessible s'il ne peut être construit à l'aide des axiomes de ZFC et des cardinaux plus petits que lui, autrement dit, s'il n'est ni équipotent à l'ensemble des parties d'un cardinal plus petit, ni réunion d'une famille de ces cardinaux (indexée par un autre de ces cardinaux). On vérifie aisément que si α est un tel cardinal, l'univers de Von Neumann V_α construit comme plus haut par récurrence transfinie jusqu'à α est un modèle de ZFC ; le théorème de Gödel montre donc que l'affirmation de l'existence d'un tel cardinal est plus forte que ZFC. On utilise souvent un axiome plus général, appelé axiome des univers de Grothendieck : pour tout cardinal, il existe un cardinal inaccessible plus grand que lui (la théorie correspondante est parfois notée ZFCU) ; et il est alors possible, pour tout ordinal β, de parler du β-ème cardinal inaccessible, d'où la définition de toute une famille d'axiomes de grands cardinaux "encore plus inaccessibles" (par exemple, on dira qu'un cardinal α est 1-inaccessible s'il est inaccessible et s'il existe α cardinaux inaccessibles plus petits que lui, puis qu'il est 2-inaccessible s'il existe α cardinaux 1-inaccessibles plus petits que lui, etc), dont on justifie la plausibilité par des arguments de point fixe.

Cardinaux mesurables

Un cardinal mesurable α est un cardinal sur lequel il existe une mesure à valeurs dans {0,1}, σ-additive et complète (c'est-à-dire définie sur tous les sous-ensembles de α) ; on voit facilement que cela revient à l'existence sur α d'un ultrafiltre non trivial, stable pour l'intersection dénombrable. Il n'est nullement clair a priori qu'un tel cardinal soit "grand", mais Dana Scott et Jerome Keisler ont montré, à l'aide d'une construction impliquant un ultraproduit, qu'en fait (si l'axiome du choix est admis), un tel cardinal est nécessairement inaccessible, α-inaccessible, etc. En revanche, la négation de l'axiome du choix est compatible avec l'existence d'une telle mesure sur aleph-un ; cette existence est en fait une conséquence de l'axiome de détermination ; on voit sur cet exemple que la notion de "grand" cardinal n'a de sens que par rapport à un système donné, lequel est le plus souvent ZFC.