Point fixe
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En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.

Exemples :

  • dans le plan, la symétrie par rapport à un point (Graphie) A admet un unique point fixe : A
  • l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1

Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable...) est réelle) s’obtient en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.

Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.); par exemple, la fonction x \mapsto x+1 n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel x égal à x+1.

Point fixe et suites récurrentes

On considère la fonction continue f: E \mapsto E et (un) la suite récurrente définie par sa valeur initiale u0 et par la relation de récurrence un+1=f(un). Dans ce cas, si (un) converge, elle le fait nécessairement vers un point fixe de f.

Il faut noter qu’une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.

Point fixe attractif

Un point fixe attractif d’une application f est un point fixe x0 de f tel qu’il existe un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme...) de x0 sur lequel la suite de nombre réels

x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\ \dots

converge vers x0.

Par exemple, la fonction cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux longueurs...) admet un unique point fixe, qui est attractif.

Cependant, tous les points fixes d’une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle (En analyse, une fonction est dite réelle si ses ensembles de départ et d'arrivée sont tous deux inclus dans .) x \mapsto x^2+x possède un unique point fixe en 0, qui n’est pas attractif.

Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures,...) d’attracteur.

Théorèmes du point fixe

Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu’une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :

Soit E un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier...) complet muni d’une distance d et f: E \mapsto E une application contractante (c’est-à-dire qu’il existe k \in [0,1[ tel que pour tous (x,y) \in E^2, d(f(x),f(y)) \le k.d(x,y)). Alors f possède un unique point fixe l.

Ce résultat permet de dire que toute suite de la forme un + 1 = f(un) converge vers l et que d(u_n,l) \le k^nd(u_0,l), ce qui permet d’avoir une estimation de la vitesse (On distingue :) de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de la suite.

Utilisation en automatique (L'automatique fait partie des sciences de l'ingénieur. Cette discipline traite de la modélisation, de l'analyse, de la commande et, de la régulation des systèmes dynamiques. Elle a pour fondements théoriques...)

L’automatique consiste à fabriquer des systèmes qui convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) vers un point fixe (mais réglé arbitrairement par l’opérateur) et qui se nomme le point de consigne.

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