Hans Freudenthal - Définition
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Introduction
Hans Freudenthal (1905-1990) était un mathématicien juif allemand, naturalisé néerlandais, spécialiste en topologie algébrique mais dont les contributions ont largement débordé ce domaine.
Il s'intéressa à l'enseignement des mathématiques. Il fut président de l'ICMI (Commission internationale de l'enseignement mathématique) et une récompense portant son nom est attribuée. On lui doit notamment le problème de Freudenthal, dans lequel « savoir que quelqu'un ne sait pas permet de savoir ».
Il inventa le lincos : un nouveau langage destiné à permettre la communication avec d'éventuels extra-terrestres.
Biographie
Hans Freudenthal est né le 17 septembre 1905 à Luckenwalde (Allemagne), où il passa son enfance et effectua ses études jusqu'au Gymnasium. Son père était enseignant. Dès son enfance, il montra des dispositions pour les mathématiques, mais aussi un grand intérêt pour la littérature classique et la poésie. En 1923, il s'inscrivit à l'Université de Berlin pour étudier les mathématiques et la physique. En 1927, il passa un semestre à Paris et rencontra Brouwer à Berlin. Il émigra en 1930 aux Pays-Bas, à Amsterdam, appelé par Brouwer qui en fit son assistant. Peu de temps après, il épousa Suus Lutter, une pédagogue néerlandaise. Cela ne l'empêcha pas de terminer sa thèse à l'Université de Belin, sous la direction de Heinz Hopf, en 1931. Le sujet en était les groupes topologiques : « Über die Enden topologischer Räume und Gruppen ».
Sa qualité de Juif lui valut d'être suspendu de son poste à l'Université d'Amsterdam pendant la deuxième Guerre mondiale. Comme sa femme était « aryenne », il ne fut pas déporté vers un camp de la mort, mais « seulement » vers un camp de travail, ce qui lui permit de survivre au nazisme.
À partir de 1946, il fut titulaire de la chaire de mathématiques pures et appliquées à l'université d'Utrecht, jusqu'en 1975. Sa méthode, en tant qu'enseignant, était d'introduire les concepts par la résolution de problèmes concrets ou de la vie courante. Il s'intéressa de plus en plus à l'éducation, jusqu'à créer un Institut (qui porte aujourd'hui son nom) à Utrecht, à lancer la revue Educational Studies in Mathematics et à devenir le huitième président de l'ICMI (1967 à 1970) dont il a longtemps fait partie du comité exécutif (1963 à 1974).
Polyglotte (il parlait couramment néerlandais, allemand, russe, anglais, hébreu, latin, français, au moins), il s'intéressa à de nombreux domaines au point d'être surnommé Homo Universalis par le président de l'Université d'Utrecht lors de l'inauguration de l'Institut qui porte son nom.
Le problème de Freudenthal
Ce problème parut pour la première fois en néerlandais dans la revue Nieuw Archief voor Wiskunde en 1969 (Série 3, Volume 17, 1969, page 152) dont Freudenthal était rédacteur de la rubrique « problèmes ». La solution a été publiée dans le volume suivant, en 1970. Il peut être énoncé ainsi :
Problème de Freudenthal — On choisit deux entiers X et Y, avec 1 < X Trouvez X et Y.
Les phrases 1 et 2 qui affirment l'ignorance des deux personnages leur permettent de résoudre le problème. En effet, de nombreux entiers vérifient les conditions données dans le préambule. Mais la phrase 1. permet d'en éliminer certains (notamment ceux qui ne peuvent être écrits que sous la forme d'un produit unique XY). Les phrases 2, 3 et 4 permettent successivement d'éliminer tous ceux qui restent, sauf un couple de solutions.
Analyse du dialogue
La solution du problème est X = 4, Y = 13.
- Patricia connaît le produit : 52, qui peut aussi être écrit 2×26 ou 4×13. Patricia ne peut donc pas connaître X et Y, mais deux possibilités seulement s'offrent à elle. Patricia annonce donc son ignorance.
- Sylivie connaît la somme : 17. Plusieurs décompositions sont possibles : 2+15 ; 3+14 ; 4+13 ; 5+12 ; 6+11 ; 7+10 ; 8+9. Si on observe les produits pouvant être constitués avec ces nombres (2×15 ; 3×14 ; 4×13 ; 5×12 ; 6×11 ; 7×10 ; 8×9), tous peuvent être écrits différemment et donc aucun ne permet à Patricia de conclure : 2×15 = 3×10 = 5×6 ; 3×14 = 6×7 = 2×21 ; 4×13 = 2×26 ; 5×12 = 6×10 = 4×15 ; 6×11 = 2×33 = 3×22 ; 7×10 = 2×35 = 5×14 ; 8×9 = 4×18 = 2×36. Sylvie peut donc dire « Je savais que vous ne saviez pas ! »
- Patricia peut alors conclure en excluant 2×26. En effet, 2+26 = 28, qui peut être notamment écrit 5+23. Or, 5×23 est un produit de deux nombres premiers et ne peut pas être écrit différemment sous forme de produit. Si la solution était X=2, Y=26, Sylvie n'aurait donc pas pu affirmer que Patricia ne pouvait pas savoir. La seule possibilité qui reste à Patricia est donc X = 4, Y = 13.
- Sylvie peut aussi conclure. De toutes les produits qu'il lui était possible d'imaginer (2×15 ; 3×14 ; 4×13 ; 5×12 ; 6×11 ; 7×10 ; 8×9), le seul qui peut n'être écrit que de deux façons différentes est 4×13. Par exemple 2×15 = 3×10 = 5×6, etc. C'est donc le seul qui a pu permettre à Patricia de conclure après les deux premières phrases du dialogue.
Résolution du problème
La résolution du problème est beaucoup plus complexe : il nous faut déterminer, parmi tous les couples (X, Y) possibles, tous ceux qui vérifient une analyse semblable à celle du paragraphe précédent.
