Homologie de Morse - Définition
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Condition de Morse-Palais
A une métrique riemannienne g fixée est associé le champ de vecteurs gradient X de f defini par :
-
La condition de Morse-Palais (ou de Morse-Smale, ou de Palais-Smale, ou de Morse-Palais-Smale suivant les auteurs) est une condition générique au sens de Baire portant sur le choix de la fonction de Morse f ou le choix de la métrique riemannienne g. Elle s'énonce ainsi :
- Les variétés stables et instables de X ou de -X aux points critiques de f s'intersectent deux à deux transversalement.
Par compacité, les champs X et -X sont globaux. Les solutions de l'équation différentielle :
![\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}u(t)=\pm X\bigl[u(t)\bigr]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/dcaaaa5715769f8e863693ea52f1b14f_3ec2f020eb6e71b3945fc93ff706ca35.png)
sont globalement définies sur R, et admettent des limites en
Orientation
Opérateur de bord ou de cobord
Suivant les coventions fixées, on définit un opérateur de bord ou de cobord ; le tableau suivant résume la situation :
| Index μ | Index ν | |
|---|---|---|
| Champ X | Opérateur de bord | Opérateur de cobord |
| Champ -X | Opérateur de cobord | Opérateur de bord |
Si A est un anneau de caractéristique 2, l'introduction des signes n'est pas nécessaire.
