Hypothèse du continu - Définition

Cardinalité

Deux ensembles S et T sont équipotents, ou encore ont même cardinalité, lorsqu'il existe une bijection entre S et T. Cela signifie que l'on peut associer à chaque élément de S un unique élément de T et réciproquement. Cette notion de cardinalité, un peu informelle car le cardinal d'un ensemble n'a pas été véritablement défini, suffit pour bien des aspects élémentaires. La définition d'un cardinal en tant qu'ensemble, plus précisément d'ordinal, due également à Cantor, nécessite l'axiome du choix.

Avec des ensembles infinis, certaines analogies peuvent tromper. Naïvement, il semble y avoir plus de nombres rationnels que de nombres entiers : un rationnel est le quotient de deux entiers. Cependant, cette vision est erronée, car il est possible d'énumérer tous les rationnels en les indexant par les entiers naturels, c'est-à-dire d'établir une bijection entre ces deux ensembles. Un tel ensemble, équipotent à l'ensemble des entiers naturels, est dit infini dénombrable ou parfois simplement dénombrable.

L'ensemble des nombres réels, noté , est un exemple d'ensemble non-dénombrable. Cantor en a proposé en 1891 une seconde démonstration très simple utilisant l'argument de la diagonale. Le continu désigne la droite réelle d'où le nom de l'hypothèse.

On peut reformuler ainsi l'hypothèse du continu : tout sous-ensemble du continu est soit fini, soit infini dénombrable, soit a la même cardinalité que le continu.

Hypothèse généralisée du continu et axiome du choix

Pour définir la notion de nombre cardinal d'un ensemble dans la théorie ZFC on a besoin de l'axiome du choix. Un cardinal est un ordinal qui n'est pas équipotent à un ordinal strictement plus petit (c'est-à-dire en bijection avec celui-ci), et on peut associer à tout ensemble un ordinal en utilisant le théorème de Zermelo (équivalent à l'axiome du choix). Si on se contente d'une notion plus informelle de cardinal — une classe d'équivalence pour la relation d'équipotence (une telle classe ne peut être un ensemble), il faut prendre garde, qu'en l'absence de l'axiome du choix, deux classes ne sont pas nécessairement comparables. Plus précisément on dit que a est subpotent à b quand il existe une injection de a dans b, strictement subpotent quand de plus il n'y a pas de bijection entre a et b. La « totalité » de l'ordre ainsi défini (voir théorème de Cantor-Bernstein) entre cardinaux, est historiquement appelée propriété de trichotomie des cardinaux, car elle peut s'énoncer ainsi : étant donné deux ensembles a et b, soit a est strictement subpotent à b, soit b est strictement subpotent à a, soit a et b sont équipotents. La propriété de trichotomie des cardinaux est équivalente à l'axiome du choix dans ZF.

On peut cependant énoncer de façon naturelle l'hypothèse du continu généralisée dans la théorie ZF :

• Pour tout ensemble infini a, tout ensemble b qui est subpotent à l'ensemble des parties de a et tel que a soit subpotent à b, est équipotent soit à a soit à son ensemble des parties.

Cet énoncé est bien équivalent aux énoncés précédents de l'hypothèse généralisée du continu, en présence de l'axiome du choix.

On peut donc se poser la question dans la théorie ZF du rapport entre l'hypothèse du continu généralisée et l'axiome du choix. Wacław Sierpiński a montré en 1947 que l'hypothèse généralisée du continu a pour conséquence l'axiome du choix dans la théorie ZF.

Par contre la théorie ZF seule n'implique pas l'axiome du choix, comme l'a montré Paul Cohen dans le même article que celui sur l'indépendance de l'hypothèse du continu, en utilisant sa méthode de forcing, combinée avec la méthode de permutation développée par Adolf Fraenkel et Andrzej Mostowski (qui avaient déjà obtenus des résultats dans cette direction).