Équipotence - Définition
En théorie des ensembles, deux ensembles E et F sont dits équipotents, ce qu'on note E ≈ F, s'il existe une bijection de E sur F. On dira alors que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité, c'est-à-dire la même " taille " ou encore le même nombre d'éléments.
L'équipotence correspond au fait d'être isomorphe dans la catégorie
Dans tout ensemble d'ensembles, la relation d'équipotence est une relation d'équivalence, dont l'ensemble quotient peut être assimilé à un ensemble de cardinaux. Il est alors très tentant d'étendre cette relation à tous les ensembles, c'est-à-dire à l'" ensemble de tous les ensembles ", mais la pratique a démontré que cette généralisation mène à différents paradoxes, dont le paradoxe de Russell.
En effet, par exemple :
- dans la théorie des ensembles ZFC , l'" ensemble de tous les ensembles " ne peut tout simplement pas exister ;
- dans la théorie des classes NGB , cet objet existe, mais n'est pas un ensemble, plutôt une classe propre; la notion de relation peut être étendue aux classes, au prix d'un certain nombre de limitations : on peut ainsi disposer d'une relation d'équipotence dans la classe de tous les ensembles, mais :
- Cette relation est assimilable à une classe propre ;
- Son graphe est lui-même une classe propre ;
- Elle demeure une relation d'équivalence, mais ses classes, dites d'équipotence (par exemple la classe des singletons ou celle des paires), sont, à l'exception de la classe de l'ensemble vide, des classes propres. Ainsi :
- On ne peut pas former d'ensemble-quotient pour cette relation ;
- Plus généralement, il faut éviter de définir les cardinaux comme les classes d'équipotence dans la classe de tous les ensembles, sous peine de ne pouvoir former d'ensembles, ni même de classes ou de cardinaux.
