En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre cardinal est une extension de cette notion pour dénombrer les ensembles, y compris des ensembles infinis.
Pour un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une...), son cardinal est son nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'éléments (zéro, pour l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) vide) :
Voici d'autres exemples, relatifs aux fonctions et relations.
Soient E et F deux ensembles finis, E de cardinal p et F de cardinal n. Alors :
On dit que deux ensembles infinis ont même cardinal s'il existe une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) de l'un sur l'autre. On dit aussi qu'ils sont équipotents. On montre qu'il n'existe aucune bijection entre un ensemble E et l'ensemble de ses parties et donc qu'il existe plusieurs tailles d'ensembles infinis. Ces différents infinis sont représentés par des nombres cardinaux transfinis : le cardinal d'un ensemble E est alors défini comme étant le plus petit nombre ordinal (En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type...) équipotent à E. De manière plus formelle, on définit un cardinal comme étant un ordinal qui n'est équipotent à aucun de ses éléments.
Dans la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de...) de Zermelo-Fraenkel (ZF), l'existence d'un ordinal équipotent à un ensemble quelconque n'est pas assurée. Dans ce cas, il est judicieux de se limiter aux ensembles pour lesquels un tel ordinal existe. Par contre, si on ajoute l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix à ZF, donnant la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle...), on peut montrer que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) ensemble est équipotent à un cardinal.
Les cardinaux infinis sont représentés au moyen de la lettre hébraïque aleph . Le plus petit cardinal infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) est
. C'est le cardinal de l'ensemble
des entiers naturels, qui est également désigné en tant que nombre ordinal par ω. Le cardinal immédiatement supérieur est
, etc. D'une manière générale, un cardinal quelconque s'écrit
où α est un ordinal.
S'il existe une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) d'un ensemble A dans un ensemble B, on note . S'il existe une injection de A dans B mais pas de bijection, on note card(A) < card(B).
Exemples :
où l'on note le cardinal de l'ensemble des fonctions de
dans {0,1}, équipotent à
. Ce cardinal étant égal à celui de
, on le note également
, dit cardinal du continu.
On s'intéresse maintenant aux possibilités d'atteindre un ordinal ou un cardinal donné à partir des ordinaux plus petits. On dit qu'un ordinal α est cofinal avec un ordinal β inférieur à α s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) suivant :
Par exemple, n'est cofinal avec aucun ordinal plus petit, puisqu'un ordinal inférieur à
est un entier n = {0,1,...,n − 1} et qu'une application strictement croissante définie sur {0,1,...,n − 1} est bornée. On dit que
est régulier, c'est le cas de tous les cardinaux successeurs.
Par contre, est cofinal avec ω au moyen de l'application
. On dit que
est singulier.
Si on note cf(α) le plus petit ordinal avec lequel α est cofinal, on a cf(ω) = ω et .
On peut classer alors les cardinaux comme suit :
Nous avons énoncé que . Or
est le plus petit cardinal strictement supérieur à
. On a donc
et l'hypothèse du continu pose la question de savoir si
. On montre que cette propriété est indécidable dans ZFC. Plus généralement, l'hypothèse généralisée du continu énonce que, pour tout ordinal α, on a
.
Si on admet comme axiome l'hypothèse généralisée du continu alors :
Notons l'ensemble des fonctions de
dans
. Alors :