Jet (mathématiques) - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, un jet est une opération qui, en chaque point de son domaine, associe à une fonction différentiable f un polynôme : la série de Taylor de f tronquée. Bien que ceci soit la définition d'un jet, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des jets considère ces polynômes comme des polynômes formels plutôt que des fonctions polynomiales.

Cet article explore d'abord la notion de jet d'une fonction d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) réelle à valeur réelle, suivie d'une discussion de la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) à plusieurs variables. Ensuite, il donne une construction rigoureuse des jets et des espaces de jets entre espaces euclidiens. Il conclut par une description des jets entre variétés, et d'une construction intrinsèque de ces jets. Dans ce cadre plus général, il donne un résumé de quelques unes des applications des jets à la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul...) et à la théorie des équations (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) différentielles.

Jets de fonctions entre espaces euclidiens

Avant de donner une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) rigoureuse d'un jet, il est utile d'examiner quelques cas particuliers.

Exemple : le cas unidimensionnel

Soit f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R} une fonction à valeur réelle ayant au moins k+1 dérivées dans un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) U du point (Graphie) x0. Alors, d'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Taylor,

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}

|R_{k+1}(x)|\le\sup_{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.

Alors le jet d'orde k ou k-jet de f au point x0 est, par définition, le polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...)

(J^k_{x_0}f)(z)=f(x_0)+f'(x_0)z+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}z^k.

Les jets sont normalement considérés comme des polynômes formels de la variable z, et pas comme de véritables fonctions de cette variable. En d'autres mots, z est une variable indéterminée (En mathématiques, une indéterminée est le concept permettant de formaliser des...) qui permet d'accomplir différentes opérations algébriques sur les jets. En fait, c’est le point de base x0 qui donne à un jet da dépendance fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....). Ainsi, en variant le point de base, un jet donne un polynôme d’ordre au plus "k" en chaque point. Ceci est une différence conceptuelle importante entre les jets et les séries de Taylor tronquées : habituellement une série de Taylor est considérée comme ayant une dépendance fonctionnelle par rapport à sa variable plutôt que par rapport à son point de base. Au contraire, les jets séparent les propriétés algébriques des séries de Taylor de leurs propriétés fonctionnelles. Nous verrons les raisons et les applications de cette séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque...) plus loin dans l’article.

Exemple: Applications d’un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) vers un espace euclidien

Soit f:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m une fonction d’un espace euclidien vers un autre espace euclidien, au moins (k+1) fois dérivable. Dans ce cas, le théorème de Taylor généralisé affirme que :

f(x)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot(x-x_0)+\frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot (x-x_0)^{\otimes 2}+\cdots+\frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^{\otimes k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}\cdot(x-x_0)^{\otimes (k+1)}.

Alors, le jet d’ordre k de f est par définition le polynôme :

(J^k_{x_0}f)(z)=f(x_0)+(Df(x_0))\cdot z+\frac{1}{2}(D^2f(x_0))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots+\frac{D^kf(x_0)}{k!}\cdot z^{\otimes k}.

Exemple: Quelques propriétés algébriques des jets

Il y a deux structures algébriques basiques dont les jets sont porteurs. La première, qui finalement se révèle être la moins importante est la structure de produit. La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) est celle de la composition des jets.

Si f,g:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R} sont deux functions à valeurs réelles, alors le produit de leur jet peut être défini de la façon suivante :

J^k_{x_0}f\cdot J^k_{x_0}g=J^k(f\cdot g).

Ici, on a supprimé l’indéterminée z, car il est bien entendu que les jets sont des polynômes formels. Ce produit est simplement le produit ordinaire des polynômes en z, modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi...) zk + 1. En d’autres termes, c’est la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) dans l’anneau {\mathbb R}[z]/(z^{k+1}), où (zk + 1) est l’idéal engendré par les polynômes homogènes d’ordre ≥ k+1.

Considérons maintenant la composition des jets. Pour éviter des détails techniques superflus, nous considérons les jets de fonctions pour lesquelles l’image de l’origine est l’origine. Si f:{\mathbb R}^m\rightarrow{\mathbb R}^\ell et g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m avec f(0)=0 et g(0)=0, alors f\circ g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^\ell. La composition des jets est définie par J^k_0 f\circ J^k_0 g=J^k_0 (f\circ g). On vérifie immédiatement en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées, que la composition des jets est une opération associative et non-commutative sur l’espace des jets à l’origine. En fait, la composition des jets d’ordre k n’est rien d’auter que la composition des polynômes modulo l’idéal des polynômes homogènes d’ordre > k.

Exemples:

  • En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 1, soit f(x) = log(1 − x) et g(x)=\sin\,x. Alors
(J^3_0f)(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}
(J^3_0g)(x)=x-\frac{x^3}{6}

et

(J^3_0f)\circ (J^3_0g)=-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\frac{1}{3}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\ \ (\hbox{mod}\ x^4)
=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}
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