Livre I des Éléments d'Euclide - Définition

Introduction

Le livre I des Éléments d'Euclide pose les fondements pour la suite de l'ouvrage. Il contient :

• 35 définitions de vocabulaire
• 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe
• 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre apocryphes
• 48 propositions

Les définitions

Y sont définis le point, la droite (qui chez Euclide n'est jamais qu'un segment de droite), les angles, le cercle, le triangle, le carré, le rectangle, les parallèles. Voici quelques-unes de ces définitions :

• Définition 1, le point est ce dont la partie est nulle.
• Définition 2, une ligne est une longueur sans largeur.
• Définition 4, la ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.
• Définition 8, un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan ,et qui ne sont pas placées dans la même direction.
• Définition 9, lorsque des lignes qui comprennent un angle sont des droites, l'angle se nomme rectiligne.
• Définition 10, lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux ,chacun des angles égaux est droit, et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
• Définition 11, l'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
• Définition 12, l'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.
• Définition 15, un cercle est une figure plane comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence, toutes les droites menées à la circonférence d'un des points placé dans cette figure étant égales entre elles.
• Définition 16, ce point se nomme le centre du cercle.
• Définition 17, le diamètre du cercle est une droite menée par le centre et terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle, le diamètre partage le cercle en deux parties égales.
• Définition 24, parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.
• Définition 25, le triangle isocèle, celle qui a seulement deux côtés égaux.
• Définition 27, [...], le triangle rectangle est celle qui a un angle droit.
• Définition 30, parmi les figures quadrilatères, le carré est celle qui est équilatère et rectangulaire.
• Définition 31, le rectangle, celle qui est rectangulaire, et non équilatérale.
• Définition 35, les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.

Les notions communes

Elles énoncent la transivité de l'égalité, le fait qu'une égalité ou une inégalité est conservée si on ajouter ou si on retranche une même quantité aux deux membres de l'égalité ou de l'inégalité. La dernière notion commune énonce que le tout est plus grand que la partie.

Les demandes

Elles supposent la possibilité de tracer une droite joignant deux points, cette droite étant unique, de prolonger une droite, de construire un cercle de centre et de rayon donnés. La demande 4 admet que tous les angles droits sont égaux entre eux. Le cinquième est le plus célèbre. Il s'agit du postulat d'Euclide sur les parallèles :

• Demande 5, si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Les définitions et les notions communes privilégient le cercle et la droite. La géométrie d'Euclide sera donc essentiellement attachée aux constructions à la règle et au compas.