Introduction

En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés B_n\, (ou parfois b_n\,, pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli), constituent une suite de nombres rationnels, qui ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type :

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n

pour différentes valeurs de l'entier n, mais qui apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Fermat.

Introduction : sommes de puissances

L'expression \sum_{k=0}^{m-1} k^n est toujours un polynôme en m, de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) n+1\,, dont les coefficients définissent les nombres de Bernoulli Bn de la façon suivante :

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = S_n(m)={1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}\ ;

ces polynômes sont également liés aux polynômes de Bernoulli  : on a (pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) n et m) Sn(m) = (Bn + 1(m) − Bn + 1(0)) / (n + 1). Par exemple, en donnant à n la valeur 1, on obtient :

0+1+2+\ldots+(m-1) = \frac{1}{2}(m^2-m)\,=\frac{1}{2}(B_0 m^2+2 B_1 m^1) \ ,

ce qui montre que B0 = 1 et B1 = − 1 / 2 (on utilise parfois la notation b_n\, pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell).

On verra plus bas qu'il est également possible de les calculer par récurrence, obtenant :

\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}}B_k = 0\,

(avec la condition initiale : B_0 = 1\,).

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire de fonctions génératrices. Leur fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par) exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) est \frac{x}{e^x-1}\,, de telle sorte que :

 \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}

pour tout x de valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) inférieure à 2\pi\, (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) peut être montrée équivalent à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B0 (par prolongement par continuité). Pour obtenir la récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) par ex − 1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle,

x = \left( \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x^j}{j!} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k x^k}{k!} \right).

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient

 x = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{m} {m+1 \choose j} B_j \right) \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}.

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série de puissances satisfont la même récurrence que celle des nombres de Bernoulli.

Formules de récurrence et formules explicites

Pour définir les nombres de Bernoulli par récurrence, repartons des sommes S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1}k^m. On remarque que S_{m+1}(n+1)=\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}, et donc, d'après la formule du binôme, que S_{m+1}(n+1)=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}kS_k(n) ; le terme en Sm + 1 s'élimine, et on obtient finalement (après réindexation)

 S_m(n)=n^m-\sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{S_k(n)}{m-k+1}

pour tous les entiers n ≥ 0, m ≥ 0, 00 étant pris égal à 1, ce qu'on peut voir comme une définition par récurrence des Sm(n), avec pour base S0(n) = 1 pour tout n ; c'est cette approche qui permet de démontrer que les coefficients de Sm(n) sont bien de la forme donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) dans l'introduction. Prenant ainsi n = 1, on obtient

 S_m(1)= 1 - \sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{S_k(1)}{m-k+1}\ .

Or on a vu que pour m\ge1 on a (par définition) S_m(1)=\sum_{k=0}^{0}k^m=0={1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k  ; on obtient ainsi la récurrence exposée en introduction :

\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}}B_k = 0\,

On peut en fait également définir les Bn sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n>1)

 B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!}{k+1} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} \ .

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling, et en simplifiant)

 B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!}{k+1} \left(\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} j^n\right)   = \sum _{k=0}^{n}  \frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}  (-1)^j\binom kjj^n

On trouve souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

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