Nombre de Bernoulli - Définition

Valeurs

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des B_n alternent ensuite.

L'apparition de semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, (puisque pour tous les entiers positifs n), et on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann) ; on pourrait donc penser qu'une formule permettant de calculer les nombres de Bernoulli n'existe pas. Ce n'est pas le cas. Sont présentées ci-dessous des méthodes de calcul rapide par récurrence et une formule explicite comme somme de coefficients binomiaux.

Applications en analyse

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Identités remarquables

Leonhard Euler a obtenu la relation suivante entre les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann :

Les relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :

Une identité de Carlitz :

Propriétés géométriques

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n−1)-sphères exotiques qui bornent des variétés parallélisables pour impliquent les nombres de Bernoulli : si B est le numérateur de , alors est le nombre de ces sphères exotiques. (La formule dans les articles topologiques diffère parce que les topologistes utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli ; cet article utilise la convention de la théorie des nombres).

Propriétés arithmétiques

Les premiers nombres de Bernoulli donnés par la fonction zêta de Riemann.

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

 ;

C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes, comme l'a découvert Kummer dans ses travaux sur le dernier théorème de Fermat.

Les propriétés de divisibilité des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer et son renforcement dans le théorème de Herbrand-Ribet, et aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla. Nous avons aussi un lien de parenté avec la K-théorie algébrique; si est le numérateur de , alors l'ordre de est si n est pair, et si n est impair.

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci : si nous ajoutons à pour chaque nombre premier p tel que p − 1 divise n, nous obtenons un nombre entier. Ce fait nous permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli différents de zéro comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n; en conséquence, les dénominateurs sont sans carré et divisibles par 6.

La conjecture d'Agoh-Giuga postule que p est un nombre premier si et seulement si .

Continuité p-adique

Une propriété de congruence spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si b, m et n sont des nombres entiers positifs tels que m et n ne sont pas divisibles par et , alors

.

Puisque , ceci peut être aussi écrit

où et , c’est-à-dire u et v sont négatifs et non congru à 1 mod p-1. Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann, avec prise hors de la formule du produit d'Euler, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod p-1, en particulier , et donc, peut être étendu à une fonction continue pour tous les nombres entiers p-adiques la fonction zêta p-adique.