Nombre transcendant - Définition

Esquisse de démonstration de la transcendance de e

La première démonstration que e est transcendant date de 1873. Nous suivrons maintenant la stratégie de David Hilbert (1862 - 1943) qui donna une simplification de la démonstration originale de Charles Hermite. L'idée est la suivante :

Supposons, dans le but de trouver une contradiction, que e est algébrique. Alors, il existe un ensemble fini de coefficients entiers satisfaisant l'équation :

et c₀ et c_n sont tous deux différents de zéro.

Dépendant de la valeur de n, nous précisons un entier positif suffisamment grand k (pour nos besoin ultérieurs) et multiplions les deux côtés de l'équation ci-dessus par , où la notation sera utilisé dans cette démonstration comme abréviation de l'intégrale :

.

Nous arrivons à l'équation :

qui peut maintenant être écrite sous la forme

où

Le plan d'attaque maintenant est de montrer que pour un k suffisamment grand, les relations ci-dessus sont impossible à satisfaire parce que

est un entier différent de zéro et ne l'est pas.

Le fait que soit un entier différent de zéro résulte de la relation

qui est valide pour tout entier positif j et peut être prouvé par récurrence au moyen d'une intégration par parties.

Pour montrer que

pour un k suffisamment grand

nous noterons d'abord que est le produit des fonctions et . En utilisant la borne supérieure pour et sur l'intervalle [0,n] et en employant le fait que

pour chaque nombre réel G

est alors suffisant pour achever la démonstration.

Une stratégie similaire, différente de l'approche originale de Lindemann, peut être utilisée pour montrer que le nombre est transcendant. En outre, la fonction gamma, certaines estimations pour e et des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle vital dans la démonstration.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de transcendances de et , voir les références et les liens externes.