Pendule simple discret - Définition

Introduction

Soit un pendule simple, c’est-à-dire un point matériel, M, de masse m, astreint à se déplacer sur un cercle vertical(C), de centre O, de rayon l, dans un champ de pesanteur g uniforme.

C'est donc un cas particulier de mouvement dans un puits de potentiel.

Fait remarquable (et peu connu) : on peut étudier ce problème redoutable de fonctions elliptiques à un niveau élémentaire de géométrie à condition de discrétiser le mouvement : il s'agit du pendule simple discret.

Le cas intégrable

Pour apprivoiser le sujet, décrivons le cas intégrable : celui où le pendule parti du point le plus bas du cercle ( en A) possède la vitesse Vo= sqrt( 2gl) et atteindra le point le plus haut du cercle (en B) au bout d'un temps infini.

Voici la procédure :

Matériel : crayon, règle, compas.

• Construction : Soit (C) la trajectoire de A en B , demi-cercle de diamètre vertical AB = 2 l, de centre O.

Soit O2, situé à la verticale de O; OO2 = d . Tracer le demi-cercle (C2) de rayon O2B = l-d, qui recoupe la verticale en B': AB' = 2d. (Par exemple l = 10cm et d = 1cm ).

Depuis A , mener la tangente à (C2) qui recoupe (C) en A2.

Depuis A2, mener la tangente à (C2) qui recoupe (C) en A4.

Continuer avec soin jusqu'à A8, voire A10.

Depuis B',tracer la tangente horizontale à (C2) qui coupe (C) en A1, de cote h = 2d.

Depuis A1 , mener la tangente à (C2) qui recoupe (C) en A3.

Depuis A3 , mener la tangente à (C2) qui recoupe (C) en A5.

Continuer avec soin jusqu'à A9.

• Théorème du pendule discret, cas intégrable:

Les points An sont séparés par des intervalles de temps égaux. On ne peut jamais atteindre B.

• Vérification expérimentale : la suite polygonale des An doit être circonscrite à un cercle (C1) de centre O1 ( compris entre O et O2), tangent en B à (C) et (C2).

De même, la suite A0 A3 A6 A9 : cercle (C3) de centre O3. On est en général assez fier de le tracer! Compléter l'arbelos. Les segments radiaux, issus des An, découpent l'arbélos en quadrangles curvilignes ; les griser en deux valeurs de gris  :la figure donne une idée de la dynamique du pendule qui "s'essouffle en montant". Les élèves de 12-15ans sont généralement contents de l'esthétique de leur figure.

Pour les élèves de lycée, on peut aller un peu plus avant :

Considérons par exemple la suite A0 A3 A6 A9 , tangente en T0 , T3 , T6 , T9 au cercle (C3):

La module de la vitesse en A0 est A0T0: tracer le vecteur vitesse en A0.

De même, pour A3T3 , A6T6 et A9T9 ( = A9T6 bien sûr !)

Cette propriété est due au fait suivant : en appelant Hn les projections des An sur l'axe radical du faisceau de cercles, on a HnAn . 2 d = (AnTn)², donc AnTn est proportionnel au module de la vitesse. On peut donc construire aisément beaucoup de point du diagramme horaire de ds/dt = v(t): la forme caractéristique du soliton apparaît clairement ( cf pendule simple ).

Au niveau Deug, un exercice classique est : trouver la démonstration sur laquelle s'appuie cette construction géométrique.

Expérience

On la fait avec un pendule de Mach : la boule est lancée de B avec une vitesse minime. Une caméra filme le mouvement jusqu'au moment où l'on passe au régime de grandes oscillations à cause de la très faible (mais impossible à éliminer) déperdition d'énergie. On colle informatiquement les photos prises à des temps réguliers : on aura ainsi plusieurs lots. Il est facile de constater que les résultats précédents sont vrais à l'erreur expérimentale près...