Pendule simple discret - Définition

Le cas du tournoiement lent

On suppose la vitesse Vo très légèrement plus grande.On se doute qu'avec une énergie supérieure de 10^(-37) joules à 2mgl, le pendule va tournoyer, mais sans que vraiment on puisse distinguer expérimentalement avec le cas précédent. Donc le pendule présentera entre l'intervalle très long d'une période, un phase de vitesse rapide (avec une vitesse v(t) quasi-égale à celle du soliton et dont l'intégrale sera 2Pi).

Le tournoiement : construction d'Euler

Rappelons la relation d'Euler (voir complément en discussion)dans un triangle quelconque de cercle circonscrit (C), de centre O, de rayon R , et de cercle inscrit, de centre I, de rayon r:

      R² = (OI)² + 2Rr       

On va donner un cas facile à tracer d'un tournoiement assez rapide, correspondant à une épure calculée, selon la règle précédente:

Tracer le cercle (C) de rayon 100 (cm).Ce sera la trajectoire.

Tracer le cercle (C2) de rayon 32 de centre O2 tel que OO2 = 60.

La tangente horizontale haute correspond à deux points A2 et A4 ( la corde A2A4 = sqrt(6144) = 78.4 ). La tangente basse correspond à deux points A1 et A7 ( la corde A1A7 = 196.7 environ ).

Les points A A1 A2 B A4 A5 A sont atteints à des dates entières. On peut tracer le cercle inscrit à cet hexagone (dit de Euler-Poncelet), soit (C1) de centre O1. Soient les points de tangence T0 T1 T2 et leurs symétriques. On obtient les 4 vitesses : en A ,le segment AT0 , en A1, le segment A1T1 , en A2, le segment AT2, et en B le segment BT2.

Soit H(M) la projection de M sur l'axe radical (D) du faisceau de cercles à points limites (dits de Poncelet en France, dits de Landen ailleurs): la vitesse en M est proportionnelle à sqrt(HM) conformément à la règle de Baliani-Torricelli (le proto-théorème de l'énergie cinétique, cinquante ans avant Leibniz!): ici OHo = 104.8 cm . La puissance de Ho par rapport au faisceau est 983.04 cm^2, correspondant aux deux points de Poncelet L' de cote 136.15 cm et L (point de Landen, ici), de cote : 73.45 cm. Si la construction est correcte, alors A1A2 et A4A5 s'intersectent en L' ; A1A4 et A2A5 en L.

Vérification graphique : Proposons la vérification suivante: prendre par convention un pas de temps 0.5 unité. Construire le point sur le cercle M3 tel que BM3 = 0.5 BT3. Construire aussi précisément que possible l'hexagone circonscrit M3M4M5M0M1M2 : on aura le plaisir de le voir se refermer en M3. Tracer les arcs AM0, A1M1, A2M2, BM3 , A4M4, A5M5 : on devrait avoir le plaisir de voir A1M1 < A5M5, légèrement ( on peut comprendre : dans le même temps M monte de A1 en M1 mais descend de A2 en M2 ), et surtout les 3 diagonales se coupent en L, évidemment.

Bien sûr, on peut obtenir les vitesses en Mn, par la même méthode que pour les An, avec la troublante satisfaction de voir que le compas ramène de T0, T1 , T2 , T3, T4 , T5 à T0 ! et bien sûr comme l'arc M0M1 est "très vertical", un rapport EXACT des vitesses M1T0/M0T0, bien égal à sqrt(H1M1/H0M0).

On complètera à loisir ...

Le cas du tournoiement très rapide

Soit toujours (C) le cercle de tournoiement, de diamètre vertical AOB. Soit H le point de cote OH telle que l'énergie soit mg.OH :

la vitesse en B sera v(B) = sqrt(2g.OH)(1 -l/2OH)); celle en A, légèrement plus grande v(A) = sqrt(2g.OH) (1 + l/2OH);

c’est-à-dire que cette fois le diagramme de vitesse sera extrêmement plat, avec une vitesse moyenne très légèrement inférieure à sqrt(2g.OH) : comme on connait v(s), on sait résoudre ce cas par la méthode du diagramme horaire.

Le tournoiement : cas général

Tracer un 2n-polygone de Poncelet dont deux côtés soient horizontaux tangents au cercle (C1) "adéquat". Tracer alors la 2n-chaîne de Poncelet passant par A et B : les 2n points seront atteints à dates entières. La difficulté évidemment réside dans le mot "adéquat", qui cache la théorie de la duplication des fonctions elliptiques. Si cos (n t) s'exprime aisément à l'aide des polynômes de Tchebycheff à l'aide de cos(t), de même cn(nt,k) est algébrique en cn(t) et k^2, mais la relation est autrement difficile!

Néanmoins, on a compris : le point Ho de l'axe radical des deux cercles (C) et (C1), de cote h est tel que la vitesse Vo en A est Vo² = 2d.h

Depuis A, on trace la chaîne de Poncelet, qui représentent des points successifs du pendule simple à des temps égaux t0 : en général,t0 n'est pas un rationnel fois la période T(h), et la chaîne de Poncelet ne se referme jamais.

Mais évidemment aussi, par continuité, il existe aussi des cercles (C1) pour lesquels la chaîne de Poncelet se ferme : par contre calculer la distance OO1 = d et le rayon R1 correspondant exige de faire le calcul via les fonctions elliptiques ( cf APPELL et LACOUR ou cf GREENHILL).