Pendule simple discret - Définition
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Le tournoiement : construction de Landen-Poncelet
Au lieu de jouer avec un triangle, on joue avec un trapèze. La règle des quadrangles de Poncelet est plus compliquée que celle d'Euler pour les triangles, on peut la retrouver dans l'article polygone de Poncelet : le rayon r du cercle inscrit de centre I, avec IO = d est tel que : r.sqrt(2R²+2d²) = R² - d².
Mais on peut "jouer simple", en acceptant la coupe diamantaire suivante :
Construire le cercle (C), de centre O, de rayon 100, de diamètre horizontal A1A7, et le diamètre vertical AB, où l'on portera OM = + 127.2.
Le triangle MA1A7 recoupe (C) en A3 et A5 . Finir la construction du quadrangle orthocentrique en traçant le point L ( point de Landen).
Le milieu H0 de ML définit l'axe radical horizontal des cercles à points limites M et L.
Construire le cercle (C2) inscrit dans le trapèze A1A3A5A7.
Tracer l'horizontale passant par L qui coupe (C) en A2 et A6 ( on vérifiera A2A6 = 120). On constatera avec joie que AA2BA6 est circonscrit à (C2).
On parachèvera par la construction du cercle (C1)tangent en 8 points à l'octogone AA1A2A3BA5A6A7, ce qui permet la détermination des vitesses.
Les huit points obtenus sont atteints à dates entières.
On peut prendre le même plaisir ( jouer du compas) qu'avec l'hexagone d'Euler, mais les constructions sont plus délicates ; ainsi en est-il de l'octogone de tangente horizontale basse : on obtient alors 16 points isochrones avec leurs vitesses.
Cette règle expérimentale d'antan s'est perdue ? certes, il fallait savoir manier règle et compas. Mais plus vraisemblablement, la virtuosité des logiciels montre que la construction n'est qu'approchée : OM n'a pas exactement la bonne cote!(cf discussion)
Néanmoins pour la présentation du mouvement à des scolaires, la figure est patente : diminution drastique de vitesse du point B1 au point B2 car la corde est quasi verticale. A contrario, passage de B4 à B5 en passant par B (alias A4) à vitesse quasi uniforme : le mouvement est ralenti, mais la vitesse initiale en B est grande devant la chute d'altitude : on comprend pourquoi le régime "logarithmique" du cas limite a du mal à s'installer.
Le cas des très grandes oscillations
Cette fois, on a au contraire l-h << l. Néanmoins la construction des points S et S' reste identique.Il est patent de reconnaître la différence des longueurs d'arcs huitième de période. Il est aussi facile de reconnaître la vitesse en S par rapport à celle en A.
Par contre , pas de moyen simple d'évaluer la valeur de la période 4K(h); et surtout pas moyen d'évaluer les hauteurs h en oscillation (h
Le cas des petites oscillations
Le cas pendulaire, on en aura eu l'intuition, est le cas où l'axe radical coupe (C) en C et C' qui seront donc les points d'altitude maximale atteints par le point M dans son oscillation pendulaire. Le point Ho sera maintenant le milieu de la corde CC': AHo = h.
Dans le cas pendulaire, traçons donc le cercle (B) de centre B, de rayon BC. Si on joint AC, évidemment AC est tangente à B , et l'arc AB correspond à une durée K(h), quart de période. La tangente horizontale SS' au cercle (B) correspond forcément aux points de date K/2, 3K/2 pour S et 5K/2, 7K/2 pour S'.
Puisque h << l , on peut approximer arcs et cordes :
AC = l (α);et BC = lcos(α), puis AS = l (α)sqrt(2)/2.
Ce qui correspond bien au 1/8 ème de période, pour une oscillation qui est donc quasi sinusoïdale. A déjà été évoqué dans l'article pendule simple, le raisonnement de Torricelli, très proche de ce tracé.
