Principe de moindre action et relativité générale - Définition

Introduction

On doit à David Hilbert, en 1915, la première utilisation du principe de moindre action pour obtenir les équations de la relativité générale, notamment les équations du champ gravitationnel.

Pour la relativité générale, comme pour la relativité restreinte, les équations peuvent être obtenues sans faire appel au principe de moindre action : le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur géométrique qui s'annule par la dérivée covariante, unicité prouvée par Élie Cartan, permet de trouver les équations du champ de gravitation, ce qui fût la méthode originelle d'Einstein (bien que l'unicité en question n'était pas encore prouvée à l'époque).

Si les équations de la relativité générale sont données, on peut en déduire l'action permettant d'appliquer le principe. En particulier, avec les équations des géodésiques on peut retrouver la métrique associée.

Particule

Particule dans un champ de gravitation

Dans ce travail, on utilise l'hypothèse que la particule ne modifie pas son environnement : la masse de la particule ni sa position ne changent le champ de gravitation, cette masse doit donc être « petite ».

En vertu du principe d'équivalence d'Einstein, la gravitation est localement équivalente au choix d'un référentiel accéléré.

Dans le cadre de la relativité restreinte, en prenant un référentiel accéléré (coordonnées ), la perception locale est donc un champ de gravitation, et le changement de référentiel par rapport à un référentiel inertiel (coordonnées ) impose une métrique aux coefficients non triviaux : . Elle suffit pour déterminer les équations du mouvement dans ce référentiel du fait du principe de moindre action en relativité restreinte.

Le principe d'équivalence permet de dire qu'un champ gravitationnel réel (non dû au choix du référentiel) est aussi déterminé par la métrique (et la métrique est déterminée par le champ de gravitation) ; bien que l'utilisation d'une métrique qui ne soit pas causée, et donc pas compensable au delà d'un domaine local de l'espace-temps, par un changement de référentiel implique que l'espace-temps n'est pas euclidien (voir l'expérience par la pensée du disque en rotation, décrit dans relativité générale), et que l'on sort alors du cadre de la relativité restreinte pour construire une nouvelle théorie : la relativité générale.

On peut donc rester dans la continuité de la relativité restreinte, et affirmer que l'action infinitésimale d'une particule ponctuelle, influencée par la seule gravitation, en relativité générale est :

où on suppose que sans rien enlever à la généralité.

En utilisant le fait que est le temps propre de la particule, l'action minimisée entre deux points de l'espace-temps montre que, comme en relativité restreinte, c'est le temps propre pour aller du point A au point B qui est maximisé (localement) par le principe. Les géodésiques sont les chemins qui maximisent (localement) le temps propre de la particule.

Pour garder la cohérence physique, on a besoin de supposer que les sont continus ; pour pouvoir travailler avec des outils connus, c'est-à-dire des dérivations, mais aussi pour supposer que le champ gravitationnel est continu, on doit supposer qu'ils sont différentiables. Par la suite, pour les équations d'Einstein, il sera indispensable de supposer qu'ils sont C².

En considérant un temps t₀ quelconque :

On utilise toujours les équations d'Euler-Lagrange après avoir divisé par le coefficient ici inutile.

On obtient l'équation :

que l'on peut aussi écrire :

ou encore :

avec la « dérivée covariante » : et , où pour temps propre.

Le symbole de Christoffel s'impose comme la manifestation de la gravitation dans les équations du mouvement.

Les équations du mouvement ne dépendent pas de la masse de la particule (nommée ainsi car nous avons négligé son étendue spatiale et son influence sur son environnement) : toutes les particules suivent les mêmes trajectoires (à conditions initiales identiques), c'est l'équation des géodésiques en relativité générale, en présence de la seule gravitation.

Toutefois, ces équations du mouvement ne sont pas valables pour une particule de masse nulle car dans ce cas, on a dès le départ , ce qui interdit tous les calculs menés ci-dessus ; on a aussi car le temps propre ne s'écoule pas pour une particule de masse nulle (voir Relativité restreinte), le terme ne peut en aucun cas avoir de sens. Il faut considérer l'onde associée à la particule pour avoir une équation ayant un sens, d'ailleurs la lumière était comprise comme une onde (électromagnétique) et comme une particule (le photon, de masse nulle) lorsque la relativité générale a été écrite.

Particule dans un champ électromagnétique

De manière similaire à la relativité restreinte, la définition de l'action relativiste infinitésimale d'une particule ponctuelle de charge dans un champ électromagnétique est .

Par des calculs parfaitement similaires, on en tire les équations du mouvement :

que l'on peut écrire :

ou encore :