Produit semi-direct - Définition

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- Introduction - Produit semi-direct interne - Exemples - Produit semi-direct externe

Introduction

Dans la théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct.

Produit semi-direct interne

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

H et K sont compléments l'un de l'autre dans G
$H\cap K=\{1\} \text{ et } G=HK$
$\forall x \in G, \exists ! (x_1, x_2) \in H \times K \ / \ x = x_1 x_2$

(Tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K)

La restriction à K de la surjection canonique est un isomorphisme entre K et G/H.
La surjection canonique se scinde par un morphisme s tel que s(G/H)=K.

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

décomposé en un élément de H (on utilise ici le fait que H est distingué), et un élément $k 1 k 2$ de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

Pour tout $k \in K$ , l'application

est un automorphisme de H. En outre l'application

est un morphisme de groupes.

Exemples

Le groupe diédral D_n peut par exemple être considéré comme produit semi-direct d'un groupe cyclique C_n d'ordre n par un groupe cyclique C₂ d'ordre 2, où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

$\text {si} \quad C_n=<x>, C_2=<y> \text { alors}\quad f(1)(x^k)=x^k, f(y)(x^k)=x^{-k} \quad \forall k \in \{0,1,2,..., n-1\}$ .

Géométriquement, le groupe C_n est engendré par une rotation, le groupe C₂ par une réflexion.

Le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.

Le groupe symétrique est le produit semi-direct du groupe alterné par le groupe engendré par une transposition.

Le groupe linéaire sur un corps $E$ est le produit semi-direct du groupe spécial linéaire (des endomorphismes de déterminant 1) par le groupe des éléments inversibles $E *$ de $E$ .

Produit semi-direct externe

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ , et un morphisme de $\scriptstyle K$ dans le groupe des automorphismes de $\scriptstyle H$ , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe de $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ suivant comme le produit cartésien de $\scriptstyle H$ et $\scriptstyle K$ muni de la loi de groupe :

où l'inverse d'un élément est .

On peut injecter $\scriptstyle H$ dans par l'application , et injecter $\scriptstyle K$ dans par l'application . On vérifie alors que est le produit semi-direct interne de $\scriptstyle H$ par $\scriptstyle K$ au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme est l'automorphisme de conjugaison par $\scriptstyle k$ . On note :