Quaternion - Définition

La notation (a, V)

Le quaternion peut être décomposé (et de façon unique) en un couple formé du réel et du vecteur de dont les coordonnées sont (b,c,d).

On écrit : .

Cette notation permet de définir la somme et le produit de la façon suivante :

Elle permet aussi de re-définir ou définir les 3 notions suivantes :

• le conjugué de ,
• le produit scalaire de deux quaternions :

d'où l'on déduit :

• la norme d'un quaternion :

nota :

Soit à présent un quaternion quelconque ; notons et . Si le réel positif n'est pas nul, le réel ne l'est pas non plus et l'on peut donc toujours écrire :

Or est un vecteur normé et l'on peut écrire : , ou encore : .

Il en résulte qu'il existe :

• un angle (dont le cosinus et le sinus valent respectivement et ) et
• un vecteur normé

qui sont tels que l'on puisse écrire le quaternion (de vecteur non nul) sous la forme :

Cette façon d'écrire un quaternion est importante : les termes du couple, et , sont en effet respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs et orthogonaux à , ces 2 vecteurs faisant entre eux un angle égal à . Et cette écriture permet de construire la multiplication des quaternions grâce à la composition des similitudes de ³ comme on peut le voir en cliquant ici

Correspondance entre quaternion unitaire et rotation vectorielle

On peut démontrer que le transformé de tout vecteur quelconque (de l'espace euclidien de dimension 3) dans la rotation d'angle et d'axe ( étant un vecteur normé) peut être calculé grâce au produit de quaternions suivants :

où et sont deux quaternions unitaires conjugués et où et sont des quaternions dont la composante scalaire est nulle.

On peut aussi écrire cette transformation avec la notation . Si la rotation est autour d'un axe orienté selon le vecteur de coordonnées (x, y,z) (le vecteur étant normé) et d'angle , le quaternion associé vaut :

Double produit de quaternions

De même que l'on peut calculer un double produit vectoriel, il est possible de calculer un double produit de quaternions.

Notations matricielles

De même qu'il est possible de mettre en correspondance le nombre complexe avec la matrice : , il est possible de faire correspondre le quaternion avec la matrice complexe suivante :

ou encore avec la matrice réelle suivante :

Il existe plusieurs représentations matricielles d'un quaternion. La matrice précédente en est une. Celle qui suit est plus souvent utilisée. Ainsi, la matrice réelle créée à partir d'un quaternion s'écrit de cette façon (en gardant q=a+ib+jc+kd):

Si le quaternion unitaire représente une rotation depuis l'origine, on peut le représenter à l'aide d'une matrice 3x3

Avec ces équivalences, la somme et le produit de deux quaternions correspondent respectivement à la somme et au produit des matrices qui leur correspondent.

Remarque :

La matrice complexe peut encore s'écrire sous la forme :

où les 4 matrices : , , et sont les matrices complexes qui correspondent aux quatre quaternions-unités 1, i, j et k évoquées dans la des quaternions. Il est à noter que la physique quantique utilise régulièrement cette décomposition des quaternions en combinaisons linéaires de matrices 2x2 (dans le traitement du spin en particulier) qui portent alors le nom de matrices de Pauli.