Quaternion - Définition

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- Introduction - Origines et principes - Définition - Propriétés mathématiques - Sous-ensembles particuliers - Quaternions unitaires et forme polaire - Les similitudes de l'espace et les quaternions - La notation (a, V) - Correspondance entre quaternion unitaire et rotation vectorielle - Double produit de quaternions - Notations matricielles - Composition de rotations vectorielles et produit de quaternions - Applications

Définition

L'espace vectoriel des quaternions H sur le corps des réels est un espace vectoriel réel de dimension quatre rapporté à une base notée $\scriptstyle (1, i, j, k)$ . Tout quaternion $\scriptstyle q \in \mathbf H$ , s'écrit donc de manière unique $\scriptstyle q = a 1 + b i + c j + d k$ .

Scalaires et vecteurs

L'ensemble des quaternions de la forme $\scriptstyle q = a 1 + 0 i + 0 j + 0 k = a$ s'identifie aux nombres réels. Ils sont appelés scalaires ou réels.

Les quaternions de la forme $\scriptstyle q = 0 1 + b i + c j + d k = b \vec i + c \vec j + d \vec k = \vec v$ , forment un espace vectoriel tridimensionnel, identifié à $\scriptstyle \mathbf R ^3$ , par identification des bases $\scriptstyle (i, j, k) = (\vec i, \vec j, \vec k)$ . On les appelle quaternions purs, quaternions vectoriels, ou par abus de langage, vecteurs.

Tout quaternion $q$ se décompose en une somme d'un réel et d'un vecteur $\scriptstyle q = a + \vec v \; \in \; 1 \cdot \mathbf R \oplus \mathbf R ^3 = \mathbf R \oplus \mathbf R ^3$ , appelées partie scalaire (ou réelle) et partie vectorielle de $q$ . Cette décomposition est unique.

Addition

La somme de deux quaternions $\scriptstyle Q = a + b i + c j + d k = a + \vec v$ et $\scriptstyle Q' = a'+ b'i + c'j + d'k = a' + \vec v'$ , est définie composant par composant par:

Cette addition fait de H un groupe abélien(commutatif) par transport de structure.

Son élément neutre est $\scriptstyle 0 = 0 + 0i + 0j + 0k = 0 + \vec 0$ et l'opposé d'un quaternion $\scriptstyle -Q = -a -bi -cj -dk = -a - \vec v$ s'obtient en inversant les signes de ses composants.

Multiplication de Hamilton

Le produit de deux quaternions $\scriptstyle Q = a + b i + c j + d k = a + \vec v$ et $\scriptstyle Q' = a' + b' i + c' j + d' k = a' + \vec v'$ , s'obtient en développant le produit formellement, puis en effectuant les réductions $\scriptstyle i^2 = -1, i\cdot j = k, ..., k^2 = -1$ définies par la table de multiplication donnée plus haut. Il est commode, pour la distinguer de la multiplication des réels, de représenter la multiplication des quaternions par $* *$ (une double étoile).

Tous calculs faits, on obtient

Dans cette dernière formule le $\scriptstyle \cdot$ désigne le produit scalaire et $\scriptstyle \wedge$ le produit vectoriel des composantes vectorielles des deux quaternions.

Cette multiplication fait de H un anneau associatif unitaire, la distributivité résultant de la bilinéarité des produits scalaires et vectoriels.

Pour tout quaternion $\scriptstyle P, Q, R$ , on a :

\begin{align}\scriptstyle P**(Q**R) &= \scriptstyle (P**Q)**R ; \\ \scriptstyle 1 ** P &= \scriptstyle P ** 1 = \scriptstyle P ; \\ \scriptstyle P**(Q+R)&= \scriptstyle P**Q+P**R ; \\ \scriptstyle (P+Q)**R &= \scriptstyle P**R+Q**R . \end{align}

Non-commutativité

La multiplication n'est pas commutative. De fait, la formule précédente montre que pour que $\scriptstyle Q ** Q' = Q' ** Q$ , il faut et il suffit que $\scriptstyle \vec v \wedge \vec v' = \vec v' \wedge \vec v$ , c'est-à-dire que leurs composantes vectorielles soient colinéaires.

En particulier, un quaternion commute à tous les quaternions si, et seulement si, sa partie vectorielle est nulle, c'est-à-dire s'il est réel. Pour , la formule $\scriptstyle \lambda Q = Q \lambda = \lambda a + \lambda bi + \lambda cj + \lambda dk = \lambda a+ \lambda \vec v$ , définit alors une multiplication externe qui munit H d'une structure d'espace vectoriel. Cette opération préserve le sous-espace des scalaires R et des vecteurs R³. Sur ces sous-espaces, elle coïncide avec les multiplications habituelles.

En résumé:

$\scriptstyle Q ** Q' = Q' ** Q \iff \vec v, \vec v'$ colinéaires
$\scriptstyle Z(\mathbf H) = \{ Q \in \mathbf H | \forall P \in \mathbf H , P ** Q = Q ** P \} = 1 \cdot \mathbf R = \mathbf R$

Conjugaison, norme, inversion

Les quaternions sont munis d'une conjugaison, qui est un anti-morphisme involutif, qui permet de définir une norme, puis l'inverse d'un quaternion. On vérifie alors que H est un corps.

Conjugaison

Le conjugué du quaternion $\scriptstyle Q = a + b i + c j + d k = a + \vec v$ est le quaternion obtenu en conservant sa partie scalaire et en prenant l'opposé de sa partie vectorielle $\scriptstyle Q^* = \bar Q = a - b i - c j - d k = a -\vec v$ .

On remarquera que le conjugué d'un scalaire $\scriptstyle Q^* = {a}^* = a$ est lui-même et que le conjugué d'un vecteur pur $\scriptstyle Q^* = {\left( \vec v \right)}^* = -\vec v$ est son opposé. Pour cette raison Hamilton se référait à la conjugaison comme inverse spatial.

La conjugaison est linéaire, i.e. $\scriptstyle (P+Q)^* = P^*+Q^*$ , et un anti-morphisme, inversant le sens du produit $\scriptstyle (P ** Q)^* = Q^* ** P^*$

C'est une involution, égale à son propre inverse $\scriptstyle {(Q^*)}^* = Q$ .

Les invariants, tels que $\scriptstyle Q^* = Q$ , sont les réels et les anti-invariants, tels que $\scriptstyle Q^* = -Q$ , sont les quaternions purs.

La conjugaison permet de retrouver facilement la partie réelle et vectorielle d'un quaternion $\scriptstyle Q = a + \vec v$ :

$\scriptstyle \frac 1 2 (Q+Q^*) = a$
$\scriptstyle \frac 1 2 (Q-Q^*) = \vec v$

Norme

Le produit d'un quaternion $\scriptstyle Q = a + bi + cj + dk = a + \vec v$ par son conjugué $Q *$ donne $\scriptstyle Q ** Q^* = a \cdot a + \vec v \cdot \vec v = a^2 + \left|| \vec v \right||^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ qui est un nombre réel positif.

On appelle norme du quaternion $\scriptstyle Q = a + bi + cj + dk = a + \vec v$ , le nombre réel positif

Cette norme dérive du produit scalaire canonique sur R⁴, défini par $\scriptstyle Q \cdot Q' = aa' + bb' + cc' + dd' = aa' + \vec v \cdot \vec v'$ . Elle coïncide avec la norme euclidienne dans l'espace quadri-dimensionnel R⁴, sa restriction aux scalaires avec la valeur-absolue et sa restriction aux vecteurs avec la norme usuelle dans l'espace tridimensionnel standard.

On a :

$\scriptstyle \left|| P \right|| = 0 \iff P = 0$
$\scriptstyle \left|| P+Q \right|| \leqslant \left|| P \right|| + \left|| Q \right||$
$\scriptstyle \left|| P+Q \right|| = \left|| P \right|| + \left|| Q \right|| \iff \exists \lambda \in \mathbf R, \; P = \lambda Q$
$\scriptstyle \left|| P ** Q \right|| = \scriptstyle \left|| Q ** P \right|| = \left|| P \right|| \cdot \left|| Q \right||$
$\scriptstyle \left|| Q^* \right|| = \left|| Q \right||$

Inverses et divisions

Si un quaternion $\scriptstyle Q = a + bi + cj + dk = a + \vec v$ n'est pas nul, il possède un unique inverse

Si $\scriptstyle Q = a$ est réel, son inverse $\scriptstyle a^{-1} = \frac 1 a$ est l'inverse de a en tant que réel. Et si $\scriptstyle Q = \vec v$ est un vecteur, son inverse $\scriptstyle {\vec v}^{-1} = \frac {- \vec v} {{\left|| \vec v \right|| }^2}$ est le vecteur pointant dans la direction opposée à $\scriptstyle \vec v$ et de norme inverse.

La multiplication n'étant pas commutative, on peut définir la division du quaternion $\scriptstyle P$ par le quaternion (non nul) $\scriptstyle Q$ de deux façons différentes :

la division à gauche $\scriptstyle R = Q^{-1} ** P \iff P = Q ** R,$
la division à droite $\scriptstyle R = P ** Q^{-1} \iff P = R ** Q.$

Conjugué d'un inverse, conjugué de la somme et du produit de deux quaternions

On montre aisément les égalités :

\begin{matrix}(Q^*)^* &=& Q\\(Q^{-1})^* &=& \frac{Q}{\|Q\|^2}\\(Q^*)^{-1} &=& \frac{Q}{\|Q\|^2}\\(Q^{-1})^{-1} &=& Q\\(Q_1 + Q_2)^* &=& Q^*_1 + Q^*_2\\(Q_1 ** Q_2)^* &=& Q^*_2 ** Q^*_1\\(Q_1 ** Q_2)^{-1} &=& Q^{-1}_2 ** Q^{-1}_1\end{matrix}\,

Origines et principes

Propriétés mathématiques

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