Racine d'un nombre - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Résolution par radicaux

Il a été une fois conjecturé que toutes les racines de polynômes pouvaient être exprimées en termes de radicaux et d'opérations élémentaires. Ceci n'est pas vrai en général comme l'énonce le théorème d'Abel-Ruffini. Par exemple, les solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...)

\ x^5=x+1

ne peuvent pas être exprimées en termes de radicaux.

Pour résoudre n'importe quelle équation de n-ième degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...), voir l'algorithme de recherche (En informatique, un algorithme de recherche est un type d'algorithme qui, pour un domaine, un...) de racines.

Racines d'un complexe

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) non nul n, une racine n-ième d'un nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...) z est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...), qui élevé à la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) n donne z, c'est-à-dire une solution de l'équation

xn = z

d'inconnue x.

Lorsque z est différent de 0, il existe n racines n-ièmes distinctes de z. En effet, les racines n-ièmes d'un complexe z non nul sont aussi les racines du polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) Xn − z, qui admet bien n solutions dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres complexes d'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de d'Alembert-Gauss.

Toutes les racines de n'importe quel nombre, réel ou complexe, peuvent être trouvées avec un simple algorithme. Le nombre doit d'abord être écrit sous la forme ae^{i\varphi} (voir la formule d'Euler). Alors, toutes les racines n-ièmes sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) par :

 e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

pour k=0,1,2,\ldots,n-1, où \sqrt[n]{a} représente la racine n-ième principale de a.

Nombres réels positifs

Toutes les solutions complexes de xn = a, autrement dit les racines n-ièmes de a, où a est un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) positif, sont données par l'équation simplifiée :

 e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

pour k=0,1,2,\ldots,n-1, où \sqrt[n]{a} représente la racine n-ième principale de a.

Racines de l'unité

Lorsque z = 1, une telle racine s'appelle une racine n-ième de l'unité, et l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, noté \mathcal U_n, est formé des n racines du polynôme complexe

Xn − 1.

Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1. Il est formé des éléments \{ 1, e^{i\frac {2\pi}{n}}, e^{i\frac {4\pi}{n}}, \ldots, e^{i\frac {(2n-2)\pi}{n}} \}

On appelle racine n-ième primitive de l'unité tout générateur du groupe cyclique (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un groupe cyclique, ou ce qui...) \mathcal U_n. Ces racines primitives sont les éléments e^{i\frac{2k\pi}{n}}k est premier avec n. Leur nombre est égal à \varphi(n)\varphi désigne l'indicatrice d'Euler.

Racine en typographie

Structure d'une racine.PNG

En typographie, une racine est composée de trois parties : le radical, l'indice et le radicande.

  • Le radical est le symbole de la racine,
  • l'indice est le degré de cette racine,
  • enfin, le radicande est ce qu'il y a sous la racine.
Page générée en 0.155 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique