Solide de Catalan - Définition
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En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui fut le premier à les décrire en 1865.
Les solides de Catalan sont tous convexes. Ils sont de faces uniformes mais non de sommets uniformes, en raison du fait que les duaux archimédiens sont de sommets uniformes et non de faces uniformes. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. Par contre, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles diédraux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers.
Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total.
| Nom(s) | Image | Dual (solide d'Archimède) | Faces | Arêtes | Sommets | Polygone de face | Symétrie |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Triakitétraèdre |  | Tétraèdre tronqué | 12 | 18 | 8 | Triangle isocèle V3,6,6 | Td |
| Dodécaèdre rhombique |  | Cuboctaèdre | 12 | 24 | 14 | Losange V3,4,3,4 | Oh |
| Triakioctaèdre |  | Cube tronqué | 24 | 36 | 14 | Triangle isocèle V3,8,8 | Oh |
| Tétrakihexaèdre |  | Octaèdre tronqué | 24 | 36 | 14 | Triangle isocèle V4,6,6 | Oh |
| Icositétraèdre trapézoïdal |  | Petit rhombicuboctaèdre | 24 | 48 | 26 | Trapèze V3,4,4,4 | Oh |
| Hexakioctaèdre |  | Grand rhombicuboctaèdre | 48 | 72 | 26 | Triangle scalène V4,6,8 | Oh |
| Icositétraèdre pentagonal (deux formes chirales) |   | Cube adouci | 24 | 60 | 38 | Pentagone irrégulier V3,3,3,3,4 | O |
| Triacontaèdre rhombique |  | Icosidodécaèdre | 30 | 60 | 32 | Losange V3,5,3,5 | Ih |
| Triaki-icosaèdre |  | Dodécaèdre tronqué | 60 | 90 | 32 | Triangle isocèle V3,10,10 | Ih |
| Pentakidodécaèdre |  | Icosaèdre tronqué | 60 | 90 | 32 | Triangle isocèle V5,6,6 | Ih |
| Hexacontaèdre trapézoïdal |  | Petit rhombicosidodécaèdre | 60 | 120 | 62 | Trapèze V3,4,5,4 | Ih |
| Hexaki icosaèdre |  | Grand rhombicosidodécaèdre | 120 | 180 | 62 | Triangle scalène V4,6,10 | Ih |
| Hexacontaèdre pentagonal (deux formes chirales) |   | Dodécaèdre adouci | 60 | 150 | 92 | Pentagone irrégulier V3,3,3,3,5 | I |
