Icosaèdre tronqué - Définition
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Introduction
| Icosaèdre tronqué | |
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| Type | Solide d'Archimède |
| Faces | Hexagones et Pentagones |
| Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique | 32 90 60 2 |
| Faces par sommet | 3 |
| Sommets par face | 5 et 6 |
| Isométries | A5 x C2 |
| Dual | Pentakidodécaèdre |
| Propriétés | Semi-régulier et convexe, zonoèdre |
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L'icosaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il comprend 12 faces pentagonales régulières, 20 faces hexagonales régulières, 60 sommets et 90 arêtes.
Ce polyèdre peut être construit à partir d'un icosaèdre avec une troncature sur les 12 sommets telle que un tiers de chaque arête est enlevée à chaque extrémité. Ceci créé 12 nouvelles faces pentagonales, et remplace les 20 faces triangulaires d'origine par des hexagones réguliers. Ainsi, la longueur des arêtes est un tiers de la longueur des arêtes originales.
Coordonnées canoniques
Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un icosaèdre tronqué centré à l'origine sont les rectangles orthogonaux (0,±1,±3φ), (±1,±3φ,0), (±3φ,0,±1) et les pavés orthogonaux (±2,±(1+2φ),±φ), (±(1+2φ),±φ,±2), (±φ,±2,±(1+2φ)) le long des pavés orthogonaux (±1,±(2+φ),±2φ), (±(2+φ),±2φ,±1), (±2φ,±1,±(2+φ)), où φ = (1+√5)/2 est le nombre d'or. En utilisant φ² = φ + 1, on vérifie que tous les sommets sont sur une sphère, centrée à l'origine, avec le carré du rayon égal à 9φ + 10. Les arêtes sont de longueur 2.
Applications
Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la balle.
Cette forme fut aussi la configuration des lentilles utilisées pour concentrer les ondes de choc d'explosion des détonateurs dans le gadget (le prototype de la bombe atomique) et Fat Man (la bombe atomique lancée sur Nagasaki) (Richard Rhodes. Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb, ISBN 0-684-82414-0. Touchstone Books, 1996., p. 195).
L'icosaèdre tronqué peut aussi être décrit comme un modèle de Buckminsterfullerène molécule (C60). Les diamètres du ballon de football et de la molécule Buckminsterfullerène sont respectivement de 22 cm et d'environ 0,1 nm, par conséquent, le rapport de taille est de 200 000 000 pour 1.
Relations géométriques
L'icosaèdre tronqué vérifie facilement la caractéristique d'Euler :
- 32 + 60 − 90 = 2.
Avec les arêtes égale à l'unité, la surface est (arrondie) à 21 pour les pentagones et à 52 pour les hexagones, faisant 73 ensemble (voir aires des polygones réguliers).
L'icosaèdre tronqué dans les arts
Un icosaèdre tronqué avec des "arêtes solides" est un dessin de Lucas Pacioli illustrant La Divine Proportion.
