Dodécaèdre rhombique - Définition
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Introduction
| Dodécaèdre rhombique | |
|---|---|
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| Type | Solide de Catalan |
| Faces | Losanges |
| Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique | 12 24 14 2 |
| Faces par sommet | 3 et 4 |
| Sommets par face | 4 |
| Isométries | Octaédrique |
| Dual | Cuboctaèdre |
| Propriétés | |
| modifier | |
Le dodécaèdre rhombique est un polyèdre convexe à 12 faces rhombiques. C'est un solide dual d'un solide d'Archimède ou un solide de Catalan. Son dual est le cuboctaèdre.
Propriétés
C'est le polyèdre dual du cuboctaèdre et un zonoèdre. La grande diagonale de chaque face est exactement √2 fois la longueur de la petite diagonale, ainsi, les angles aigus de chaque face mesurent 2 tan-1(1/√2), ou approximativement 70,53°.
Étant le dual d'un solide d'Archimède, le dodécaèdre rhombique est de faces uniformes, ce qui signifie que le groupe de symétrie du solide agit transitivement sur l'ensemble des faces. En termes élémentaires, ceci signifie que pour deux faces quelconques A et B, il existe une rotation ou une réflexion du solide qui le laisse occuper la même région de l'espace en déplaçant la face A vers la face B.
Le dodécaèdre rhombique est un des neuf polyèdres convexes à arêtes uniformes, les autres étant les cinq solides de Platon, le cuboctaèdre, l'icosidodécaèdre et le triacontaèdre rhombique.
Il est topologiquement équivalent à l'intersection de 3 cylindres de mêmes diamètres, chacun des axes étant perpendiculaire aux deux autres (comme les diagonales d'un octaèdre régulier).
Le dodécaèdre rhombique peut être utilisé pour paver un espace à trois dimensions. Il peut être empilé pour remplir un espace comme les hexagones remplissent le plan; les cellules dans un réseau ont une forme similaire au dodécaèdre rhombique coupé par la moitié.
Ce pavage peut être vu comme le diagramme de Voronoï d'un réseau cubique à face centrées. Les abeilles utilisent la géométrie des dodécaèdres rhombiques pour former leurs nids d'abeille à partir du pavage des cellules, chacune d'elle est un prisme hexagonal couvert avec la moitié d'un dodécaèdre rhombique.
Le dodécaèdre rhombique forme la coque de la première projection par sommets d'un tesseract vers les 3 dimensions. Il existe exactement deux manières de décomposer un dodécaèdre rhombique en quatre parallélépipèdes congruents, ce qui donne 8 parallélépipèdes possibles. Les 8 cellules du tesseract sous cette projection sont précisément ces 8 parallélépipèdes.
Mesures et volume
Si son arête est a, son volume vaut :
Sa surface est de :
Coordonnées cartésiennes
Les huit somment où trois faces se rencontrent sur leur angles obtus ont pour coordonnées cartésiennes
- (±1, ±1, ±1)
Les six sommets où les quatre faces se rencontrent sur leurs angles aigus sont donnés par les permutations de
- (0, 0, ±2)
Bibliographie
- Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X
