Système décimal - Définition

Systèmes d'unités

En Chine les mesures de capacité et de poids sont décimalisées vers 170 av. J.-C. Aux États-Unis, le système monétaire est décimal en 1786. En Europe, la décimalisation des unités est initiée en France à partir du 22 août 1790, date à laquelle Louis XVI demande à l'Académie des Sciences de nommer une commission pour définir les poids et mesures. Cette dernière préconise la division décimale.

Bases combinées

Les numérations décimales utilisent parfois des bases auxiliaires :

• un système quinaire auxiliaire est utilisé dans certains systèmes de notation (voir plus haut) et pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme le wolof ;
• un système vigésimal auxiliaire est utilisé pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme en basque, ou « quatre-vingts » en français ;
• des bases mille et un million auxiliaires sont souvent utilisées pour l'énonciation des nombres dans les langues européennes, et une base mille dans l'écriture des grands nombres, afin d'en faciliter la lecture, comme, par exemple, 12 345 678, 12.345.678 ou 12,345,678, selon les pays ;
• en chinois et en japonais, une base dix mille auxiliaire est utilisée.

Certains autres systèmes utilisent un système décimal auxiliaire :

• la numération babylonienne et les systèmes de mesure du temps et des angles en minutes et secondes, sexagésimaux, utilisent un système décimal auxiliaire ;
• la numération maya, bien que vigésimale, laisse apparaitre un système décimal auxilaire dans l'énonciation des nombres.

Mathématiques

Conversion en base N d'un nombre en base 10

Pour passer d'un nombre en base 10 à un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante :

Soit K le nombre en base 10 à convertir en base N.

1. Effectuer la division entière de K par N. Soit D le résultat de cette division et R le reste
2. Si D >= N, recommencer en 1
3. Sinon, l'écriture en base N de K est égal à la concaténation du dernier résultat et de tous les restes en commençant par le dernier.

Exemple : conversion du nombre 3257 en base 16

• 3257 / 16 = 203,5625 soit
• 3257 = 203 × 16 + 9
• 203 = 12 × 16 + 11

Sachant que 11 se note B et que 12 se note C, l'écriture de 3257 en base 16 est CB9.

Conversion en base 10 d'un nombre en base N

Pour passer d'un nombre en base N à un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::

Soit K le nombre en base N à convertir. Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule c×N ^r. La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.

Le comptage de r commence à zéro de la droite vers la gauche.

Exemple
Le nombre « 10110 » en base 2 s'écrit en base 10 :

1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 22 (base 10)

Exemple
Le nombre « 3FA » en base 16 s'écrit en base 10 :

3×16² + 15×16¹ + 10×16⁰ = 1 018 (base 10)

Rappel : F en base seize vaut 15 en base dix, A en base seize vaut 10 en base dix.

Avantages et inconvénients

La plupart des langues vivantes décomposent les nombres en base 10 en raison de certains atouts de celle-ci :

• le compte sur les dix doigts est très intuitif ainsi que cela a été mentionné ci-dessus ;
• son ordre de grandeur est satisfaisant, car il permet de réduire considérablement la longueur d'un grand nombre par rapport à la base 2, tout en conservant des tableaux d'additions et de multiplications mémorisables.

Cependant, il a fallu attendre la généralisation de la notation positionnelle, et l'existence d'un algorithme de division adapté à cette notation pour que les unités de mesure perdent progressivement leurs sous-multiples non décimaux. Quand la livre comprenait en France 20 sous de 12 deniers (ou en Grande-Bretagne 20 shillings de 12 pence) les agents économiques appréciaient que cette unité pût être divisée de manière exacte par 20 diviseurs différents (y compris 1 et 240). En 1971, malgré l'informatique qui permet désormais de gérer facilement l'hétérogénéité de rapports non décimaux entre sous-multiples, la Grande-Bretagne n'a pourtant pas hésité à décimaliser sa monnaie.