Théorème de la progression arithmétique - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Signification du théorème - Démonstration - Histoire

Introduction

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur du théorème

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune-Dirichlet, s'énonce de la façon suivante :

« Pour tous les entiers naturels non nuls n et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme n + a m, où a est un entier positif. »

ce qui est équivalent à l'énoncé suivant :

« Pour tous les entiers non nuls n et m premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers dans la classe de n modulo m. »

Ce théorème utilise à la fois les résultats de l'arithmétique modulaire et ceux de la théorie analytique des nombres.

Signification du théorème

Ce théorème généralise le théorème d'Euclide d'après lequel il existe une infinité de nombres premiers. Il indique que si l'on construit un tableau comme le suivant, alors certaines lignes possèderont au plus un nombre premier, (indiqué en rouge sur la figure) et il sera, s'il existe, toujours en première colonne. Cette configuration se présente ici pour les lignes commençant par 3, 6 et 9. Les autres contiendront toujours un nombre infini de nombres premiers (ici de premier élément 1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Les lignes contenant au plus un nombre premier sont celles dont la première valeur contient un diviseur commun avec le nombre dans la dernière ligne et première colonne.

On peut aller plus loin. La répartition statistique est presque la même dans chaque ligne. Et plus la ligne est longue, plus les répartitions statistiques se ressemblent, pour devenir exactement les mêmes. Vu sous cet angle, les nombres premiers sont remarquablement bien ordonnés. Ce résultat est démontré par le théorème de densité de Chebotarev, une généralisation du travail de Dirichlet. Dans l'exemple cité, les lignes commençant avec un entier premier avec 9 en contiennent entre 8 et 5, soit une variation inférieure à 40%. En revanche, si le tableau est prolongé jusqu'à la valeur 1 000, alors le nombre de nombres premiers dans les lignes en contenant une infinité ne varie plus que de 26 à 29, soit une variation de moins de 10%.

1	10	19	28	37	46	55	64	73	82	91	100	109	118	127	136	145
2	11	20	29	38	47	56	65	74	83	92	101	110	119	128	137	146
3	12	21	30	39	48	57	66	75	84	93	102	111	120	129	138	147
4	13	22	31	40	49	58	67	76	85	94	103	112	121	130	139	148
5	14	23	32	41	50	59	68	77	86	95	104	113	122	131	140	149
6	15	24	33	42	51	60	69	78	87	96	105	114	123	132	141	150
7	16	25	34	43	52	61	70	79	88	97	106	115	124	133	142	151
8	17	26	35	44	53	62	71	80	89	98	107	116	125	134	143	152
9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153

1	10	19	28	37	46	55	64	73	82	91	100	109	118	127	136	145
2	11	20	29	38	47	56	65	74	83	92	101	110	119	128	137	146
3	12	21	30	39	48	57	66	75	84	93	102	111	120	129	138	147
4	13	22	31	40	49	58	67	76	85	94	103	112	121	130	139	148
5	14	23	32	41	50	59	68	77	86	95	104	113	122	131	140	149
6	15	24	33	42	51	60	69	78	87	96	105	114	123	132	141	150
7	16	25	34	43	52	61	70	79	88	97	106	115	124	133	142	151
8	17	26	35	44	53	62	71	80	89	98	107	116	125	134	143	152
9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153

1	10	19	28	37	46	55	64	73	82	91	100	109	118	127	136	145
2	11	20	29	38	47	56	65	74	83	92	101	110	119	128	137	146
3	12	21	30	39	48	57	66	75	84	93	102	111	120	129	138	147
4	13	22	31	40	49	58	67	76	85	94	103	112	121	130	139	148
5	14	23	32	41	50	59	68	77	86	95	104	113	122	131	140	149
6	15	24	33	42	51	60	69	78	87	96	105	114	123	132	141	150
7	16	25	34	43	52	61	70	79	88	97	106	115	124	133	142	151
8	17	26	35	44	53	62	71	80	89	98	107	116	125	134	143	152
9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153