Théorème de la progression arithmétique - Définition
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Histoire
Préhistoire
L'intérêt pour les nombres premiers est ancien et omniprésent dans l'histoire des mathématiques. Euclide y consacre le chapitre VII de son livre les éléments. On peut aussi citer les travaux de Sun Zi écrit vers l'an 300 établissant une première version du théorème des restes chinois et surtout Qin Jiushao qui en développe une version suffisamment sophistiquée pour dépasser le niveau européen du XVIIIe siècle. On peut citer George Sarton qui le considère comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
Le XVIIe siècle est celui où les mathématiques européennes, et particulièrement françaises se réapproprient le savoir de l'antiquité et l'apport de la civilisation arabe. En 1621 Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante d'Alexandrie intitulé Arithmetica en latin. Pierre de Fermat l'annote.
Vers une formalisation
Leonhard Euler résout plusieurs équations diophantiennes laissées ouvertes par le siècle précédent. On peut citer ses travaux sur le théorème des deux carrés de Fermat ou sa résolution du grand théorème de Fermat pour le cas ou n est égal à trois, après un premier échec. Dans ce domaine, s'il se montre particulièrement adroit en résolvant pour la première fois des problèmes ouverts depuis parfois plus d'un siècle, il n'est néanmoins pas novateur. Les outils utilisés sont ceux de l'antiquité pour l'arithmétique et les techniques algébriques de son temps.
En 1735, à la suite d'une étude pour la résolution du problème de Mengoli, Euler étudie des produits infinis. Deux ans plus tard, il démontre une étrange formule maintenant nommé produit eulérien. Cette formule relie par exemple un produit infini de nombres premiers avec la surface d'un cercle. Son écriture en série est celle de la fonction ζ de Riemann. Elle offre de plus la première information statistique sur la distribution des nombres premiers.
En 1795, Adrien-Marie Legendre conjecture le théorème de l'article, sans pouvoir le démontrer.
En 1801, Carl Friedrich Gauss publie ses célèbres Disquisitiones arithmeticae. Il offre les bases d'une théorie algébrique des nombres, que l'on appelle arithmétique modulaire. Son livre analyse les propriétés des modules Z/nZ et pour démontrer la loi de réciprocité quadratique développe un cas particulier de caractère d'un groupe fini, celui des modules si p est un nombre premier.
Apports de Dirichlet
En 1837 Dirichlet démontre une première version du théorème de l'article, en supposant que n est premier. Il démontre l'année suivante le cas où n n'est pas premier et en 1841 généralise la démonstration aux entiers de Gauss.
La démonstration est d'un intérêt considérable en arithmétique. Elle relie la nouvelle théorie de Gauss aux idées, apparemment si éloignés, d'Euler. Il enrichit de plus chacune des deux branches.
L'apport algébrique pour la théorie des nombres consiste essentiellement dans le développement de l'analyse harmonique. Dirichlet a travaillé sur les découvertes de Joseph Fourier . Pour la démonstration de son théorème il utilise les mêmes méthodes, cette fois pour un groupe abélien fini. C. G. J. Jacobi dit de lui : En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine. La théorie des caractères d'un groupe fini pour le cas abélien est pratiquement complète.
Son apport en analyse est non moins innovateur. À chaque caractère, il associe un produit infini analogue à celui d'Euler. Il montre l'équivalence de ces produits à des séries, maintenant nommé série L de Dirichlet dont un cas particulier est la fonction ζ de Riemann. L'essentiel de la démonstration consiste alors à déterminer si l'unité est oui ou non une racine de ces séries. On reconnait là, l'analogie profonde avec l'hypothèse de Riemann. Cet article marque la naissance d'une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres avec ses outils fondamentaux : les produits eulériens, ou les séries L de Dirichlet et son intime relation avec l'arithmétique modulaire.
