Axiome de la paire
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En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.

Exposition

Essentiellement, l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable...) affirme que :

deux ensembles quelconques forment un nouvel ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...), que l'on appelle paire, auxquels ils appartiennent tous deux, et ce sont les seuls.

Dans le langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de pair) que le langage de tous les jours (voir langage naturel).) de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

\forall a\ \forall b\ \exists c\ \forall x[x\in c\Leftrightarrow (x=a\vee x=b)]

qui se lit en français :

étant donné a et b deux ensembles, il existe un ensemble c tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble x, x est un élément de c si et seulement si x est égal à a ou à b.

L'axiome exprime que, pour deux ensembles quelconques a et b, il est possible de trouver un ensemble c dont les éléments sont précisément a et b. L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble c est unique. L'ensemble c est noté {a, b}. Il est appelé paire de a et de b quand ab, singleton a, quand a = b. Dans ce dernier cas {a, a} peut être abrégé en {a}.

En théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.), on considère parfois qu'un singleton est un cas particulier de paire, pour des raisons de commodité d'expression dans les premiers développements. On parle donc de la paire de a et de b même si l'on a pas supposé que ab. C'est contraire à l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) dans le reste des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...), par exemple en combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.) (quand on compte les paires d'éléments d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers...), on ne comprend pas les singletons). Pratiquement, les domaines sont suffisamment disjoints pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté.

L'axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de...) est suffisamment simple et primitif, pour apparaître comme axiome ou être démontrable, sous une forme éventuellement restreinte (par exemple si la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) est typée), dans n'importe quelle théorie qui axiomatise la notion d'ensemble.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...)

L'axiome de la paire peut être généralisé aux ensembles finis quelconques. On a le schéma de propositions suivant :

\forall a_1\cdots\forall a_n\ \exists c\ \forall x[x\in c\Leftrightarrow (x=a_1\vee\cdots\vee x=a_n)]

qui signifie que :

étant donné des ensembles a1, ..., an il existe un ensemble c dont les éléments sont précisément a1, ..., an.

Cet ensemble c est encore unique d'après l'axiome d'extensionnalité, et est noté {a1, ..., an}.

Cette généralisation est bien d'un schéma de proposition : une proposition pour chaque entier donc une infinité de proposition. À ce stade (Un stade (du grec ancien στ?διον stadion, du verbe ?στημι istêmi, « se tenir droit et ferme ») est un équipement...) il n'est pas nécessaire d'avoir défini en théorie des ensembles la notion d'entier, ou d'ensemble fini. Les entiers qui interviennent sont nécessairement ceux du meta-langage. Un énoncé ne peut avoir un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de quantificateurs qui dépend d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui...) de la théorie. Avec les entiers de la théorie des ensembles il faudrait dire les choses autrement. Chacune des propositions du schéma est donc associée à un entier naturel non nul n (du meta-langage). On peut ajouter pour n = 0, l'existence de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), qui est d'un certaine façon un cas particulier du schéma, si l'on se souvient que l'absurde est, sémantiquement, " élément neutre " de la disjonction :

∃c ∀x x ∉ c .

Comme on n'a pas précisé que les ai sont distincts (c'est inutile), la proposition d'ordre n a pour conséquence logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à...) immédiate toutes les propositions d'ordre inférieur non nul[1]. Le cas n = 1 est comme on l'a vu conséquence de l'axiome de la paire avec a = a1 et b = a1. Le cas n = 2 est l'axiome de la paire. Les cas n > 2 peuvent être démontrés en utilisant l'axiome de la paire et l'axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, affirmant que, pour tout...) appliqués de multiples fois. Par exemple, pour démontrer le cas n = 3, nous utilisons l'axiome de la paire trois fois, pour produire successivement la paire {a1 , a2 }, le singleton {a3 }, puis la paire { { a1 , a2 }, { a3 } }. L'axiome de la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de...) fournit alors le résultat désiré, { a1 , a2 , a3 }.

Chaque énoncé du schéma est donc démontrable en théorie des ensembles. En toute rigueur il faut une récurrence dans le meta-langage pour montrer que tous ces énoncés sont des théorèmes.

Schéma de remplacement et axiome de la paire

L'axiome de la paire pourrait être omis de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, car il se déduit du schéma d'axiomes de remplacement et de l'axiome de l'ensemble des parties. Cependant on évite généralement de le faire, car il intervient, dès les premiers développements de la théorie des ensembles, par exemple pour définir les couples, alors que le schéma de remplacement n'est véritablement utile que pour des développements plus avancés (ordinaux par exemple). Voici comment on le déduit.

Soient deux ensembles quelconques a et b, on souhaite montrer l'existence de la paire {a, b} (éventuellement réduite à un singleton).

On utilise tout d'abord l'existence de l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (démontrable en théorie des ensembles, à partir du schéma d'axiomes de compréhension, donc du schéma d'axiomes de remplacement, voir axiome de l'ensemble vide), noté ∅. D'après l'axiome de l'ensemble des parties on peut montrer l'existence du singleton {∅}, qui est l'ensemble des parties de l'ensemble vide. On en déduit, toujours par le même axiome, l'existence de la paire { ∅, {∅}} qui est l'ensemble des parties du singleton {∅}.

On utilise maintenant la relation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en...) en x et y suivante (voir article schéma d'axiomes de remplacement) :

(x = ∅ et y = a) ou (x = {∅} et y = b)

Associée à l'existence de la paire { ∅, {∅}}, cette relation assure par, remplacement, l'existence de la paire {a, b}.

Cette utilisation du schéma de remplacement est assez peu caractéristique de ce dernier. Il faut noter qu'à ce moment du développement de la théorie, on ne dispose pas des notions de couple, de fonction ...

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