Axiome de fondation
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L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs, même s'ils le considèrent souvent intuitivement vérifié. L'axiome de fondation (L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue un grand rôle dans cette...) fait ou non partie des axiomes de ZF (et ZFC) suivant les ouvrages.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

L'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit...) de fondation stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point d'insertion sur la tige.) que

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) x non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), il existe un ensemble y appartenant à x et n'ayant aucun élément en commun avec x,

en écriture symbolique

x[x ≠ ∅ ⇒ ∃y(yx et yx = ∅)]

Par exemple, si x a pour élément l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), ce dernier conviendra pour y. C'est même le seul choix possible si x est un ensemble transitif (En théorie axiomatique des ensembles, un ensemble X est dit transitif) non vide (qui a donc forcément l'ensemble vide pour élément).

Dans un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des ensembles qui satisfait l'axiome de fondation, les ensembles décrits par la théorie axiomatique reflètent davantage l'image intuitive :

  • aucun ensemble n'est élément de lui-même : on ne peut avoir x \in x, puisque sinon le singleton {x} fournirait un contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture,...) à l'axiome de fondation : {x} ∩ x = {x} ;
  • plus généralement, la relation d'appartenance n'a pas de cycle : on ne peut avoir x_0 \in x_1 et x_1 \in x_2 ... et x_n \in x_0, puisque sinon {x0, …, xn} contredirait l'axiome de fondation ;
  • plus généralement encore, on ne peut avoir de suite infinie d'ensembles tels que x_1 \in x_0, x_2 \in x_1, … , x_{n+1} \in x_n, …, puisque l'ensemble image de cette suite, {xn | n ∈ N}, contredirait l'axiome de fondation.

Cette dernière propriété signifie que le prédicat (Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.) à deux variables libres " x \in y " est bien fondé. Elle est équivalente à l'axiome de fondation si l'axiome du choix dépendant est vérifié. Ce dernier est un axiome du choix très faible qui permet de construire des suites et que le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...), non spécialiste de logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées...), suppose intuitivement toujours vérifié, souvent sans le savoir.

Axiome de fondation et paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à...) de Russell

En présence de l'axiome de fondation, on n'a jamais " x ∉ x ". Mais le rapport entre le paradoxe de Russell et l'axiome de fondation n'est qu'apparent. Ce dernier n'est en aucun cas une solution au paradoxe de Russell (apportée en théorie des ensembles par des restrictions au schéma d'axiomes de compréhension général). En effet le paradoxe de Russell utilise seulement la possibilité d'écrire " x ∉ x ". En présence de l'axiome de fondation la classe définie par x ∉ x est simplement l'univers de tous les ensembles, qui doit de toute façon être une classe propre. Les théories des ensembles ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment...) avec axiome de fondation et ZFC avec la négation de l'axiome de fondation, sont équi-cohérentes (voir la suite).

La hiérarchie cumulative

La hiérarchie cumulative de von Neumann est définie par induction sur la classe de tous les ordinaux, en commençant par l'ensemble vide et en itérant l'ensemble des parties, c’est-à-dire que (P(E) désigne l'ensemble des parties de E) :

  • Vα = ∪β<α P(Vβ)
et donc :
  • V0 = ∅
  • Vα+1 = P(Vα)
  • Vα = ∪β<α Vβ   pour tout ordinal limite α .

La classe (propre !) V est obtenue par réunion des Vα pour tous les ordinaux. Si " Ord " désigne la classe de tous les ordinaux :

V(x) ≡ ∃ α (Ord(α) et xVα).

La classe V définit, à l'intérieur de tout modèle de la théorie des ensemble (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) ZF ou ZFC, en gardant la même relation d'appartenance, un modèle de la théorie ZF (ZFC si l'univers initial est modèle de ZFC) qui satisfait AF, l'axiome de fondation. Ceci montre la cohérence relative de ZF+AF vis à vis de ZF, de même pour ZFC. Dit autrement, la négation de AF, l'axiome de fondation, n'est pas démontrable dans ZFC (et donc ZF).

On montre que, de plus, l'axiome de fondation est satisfait par un modèle de ZF si et seulement si ce modèle est réduit à la classe V. Dit autrement, l'axiome de fondation équivaut à la formule ∀x V(x). En présence de l'axiome de fondation, on peut donc définir le rang ordinal d'un ensemble a, qui est le plus petit ordinal α tel que aVα.

Indépendance de l'axiome de fondation

L'axiome de fondation n'est pas démontrable à partir des axiomes de ZFC (bien sûr sans fondation). On montre, par une application très simple de la méthode de permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession de...) de Fraenkel-Mostowski (on modifie la relation d'appartenance à l'aide d'une " permutation " sur l'univers de tous les ensembles), que si la théorie ZFC est cohérente, par exemple la théorie ZFC plus l'existence d'un ensemble a tel que a = {a} est cohérente.

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