Cet article présente le modèle mathématique relatif au Cube de Rubik.
(où
droite (right), haut (up), gauche (left), avant (front), arrière (back) et bas (down).
On associe au Rubik's cube une numérotation des faces et une autre pour les sommets.
On définit
On a
En utilisant la notation des cycles, on a
Pour chacun des sommets du cube, on place un marqueur noté
Pour les sommets :
Pour les arêtes :
L'orientation sera alors le nombre de rotations de 120° à effectuer sur le cube pour rétablir la place du marqueur
On définit de même l'orientation des arêtes par le nombre de rotations de 180° permettant de rétablir l'orientation initiale :
et
Exemple :
Soit
L'application
En effet, étant donné que
,
l'application ι est un morphisme.
De plus, elle est injective car
Elle est nécessairement surjective car en démontant le cube (on est ici dans le groupe élargi
Soit
Soit
On a
Vérifions que cette relation est valable pour les six rotations "de base" :
![]() | |
---|---|
![]() | (2,0,0,1,1,0,0,2) |
![]() | (0,0,0,0,0,0,0,0) |
![]() | (0,0,0,0,0,0,0,0) |
![]() | (0,1,2,0,0,2,1,0) |
![]() | (1,2,0,0,2,1,0,0) |
![]() | (0,0,1,2,0,0,2,1) |
Il est immédiat que
On écrit le mouvement g de la même manière que précédemment (
On peut donc prouver b) par induction sur la longueur du mouvement. La longueur k=1 a déjà été vérifiée (si k = 1, alors
Supposons k>1. On a
Idem que précédemment en remplaçant ρ par σ
Soit
On démontre d'abord la réciproque dans des cas particuliers, pour arriver ensuite au cas général.
Il existe un mouvement qui tourne deux coins (sans les permuter) et qui préserve l'orientation et la position de chacun des autres cubes. En modifiant ce mouvement, on peut générer l'ensemble des 8-uplets vérifiant b) Certains de ces mouvements seront ajoutés par la suite
Il est possible de retourner deux arêtes et de laisser le reste invariant. On génère alors l'ensemble des 12-uplets vérifiant c).
Soit
On montre en utilisant la relation a) que ce mouvement appartient à
(A approfondir)
Soit
On définit sur
avec
ie
On obtient ainsi
et on en déduit
Soit
Donc
Soit
Soit
Soit
On en déduit que l'indice de
D'après le théorème de Lagrange,