Topologie quotient - Définition

Espaces homogènes

On appelle ainsi un ensemble muni d'une action transitive d'un groupe .

Généralités

Soit un groupe topologique et un sous-groupe (par forcément normal). L'ensemble des classes à droite de modulo , noté , est le quotient de par la relation d'équivalence . C'est aussi l'ensemble des orbites de l'action de sur par translations à droites.

Proposition. Si est fermé dans , est séparé.

Preuve. Comme plus haut, désignons par l'application de passage au quotient. Soient et dans tels que , autrement dit tels que . Comme par hypothèse est ouvert, il existe, en raison de la continuité de , des ouverts et , contenant respectivement et , tels que, quels que soient et , . Alors et ne contiennent pas d'éléments équivalents, donc et sont disjoints (et contiennent respectivement et ). De plus, ce sont des ouverts dans . En effet, d'après la définition de la topologie quotient, il suffit de vérifier que et le sont. Mais est ouvert comme réunion d'ouverts.

En prime, si de plus est (localement) compact, il en est de même de .

Exemples

Ils sont tous fondés sur le même principe. Soit un espace topologique sur lequel un groupe (topologique) agit transitivement. Si est un point de donné une fois pour toutes, le sous-groupe est fermé, dès que est séparé. On a une bijection entre et . On peut donc transporter à la topologie quotient de . (On a une bijection continue de -muni de la topologie de départ - sur , qui est un homéomorphisme si est compact).

Soit muni de sa structure euclidienne habituelle et le groupe orthogonal. Ce qui précède s'applique aux situations suivantes :

• l'ensemble des systèmes orthonormés de

vecteurs de s'identifie à . C'est un espace compact, et même une variété (appelée variété de Stiefel).

• l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension

s'identifie à C'est aussi un espace compact et une variété, appelée grassmannienne.

Des considérations géométriques analogues permettent de voir l'ensemble des droites affines de comme un espace homogène.

Actions de groupes

Le cercle peut aussi s'obtenir comme quotient de par la relation définie par

Plus généralement, on dit qu'un groupe topologique agit continument sur un espace topologique si on a une application continue de dans telle que

et

L'espace quotient par la relation d'équivalence

est noté , et appelé espace des orbites de

Pour éviter des situations trop pathologiques, on suppose souvent que est localement compact et que l'action de est propre, c’est-à-dire que l'image réciproque de tout compact par l'application est compacte. Si est un groupe discret (situation fréquente et déjà intéressante), cela revient à dire que l'ensemble des tels que est fini.

On démontre que le quotient d'un espace localement compact par une action propre est séparé (et localement compact).

Exemples

• Pour l'action de sur

donnée par l'espace quotient est un cylindre. Pour l'action donnée par , l'espace quotient est un ruban de Möbius.

• Pour l'action de sur

donnée par l'espace quotient est un tore

• Pour l'action du groupe à deux éléments

sur la sphère définie par , le quotient est l'espace projectif.

• Sur , les transformations

et engendrent un groupe qui agit proprement (c'est un sous-groupe discret du groupe des isométries euclidennes). Le quotient est la bouteille de Klein.