En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire lorsque la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues.
L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique.
Définition — Un groupe
sont continues.
Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :
Théorème : Le groupe additif
Démonstration :
Soit
Si
tel que
Si
(car il y a une infinité d’éléments de
Soit
Le cercle
Un exemple plus sophistiqué est
Sur tout groupe topologique localement compact et séparable, il existe une et une seule mesure (à coefficient multiplicateur près) invariante par la translation à gauche
Dorénavant, nous omettrons le signe
Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire
Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivant : il existe un ouvert contenant l'élement neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.
Dans un groupe topologique, les translations
sont des homéomorphismes.
La topologie est déterminée par la donnée des voisinages de l'élément neutre e.
Un groupe topologique G est séparé ssi le singleton {e} est fermé dans G. Également, G est séparé ssi l'intersection des voisinages de e est réduite à {e}.
Si
Un groupe topologique est naturellement muni de deux structures uniformes (à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif. Un groupe topologique séparé est par conséquent complètement régulier. Tout morphisme continu de groupes topologiques est uniformément continu pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées.