Groupe topologique - Définition

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- Introduction - Définition et propriété caractéristique - Exemples de base - Mesure de Haar - Groupes linéaires - Quelques propriétés générales - Topologie p-adique

Introduction

En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire lorsque la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues.

L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique.

Définition et propriété caractéristique

Définition — Un groupe $(G,\star)$ muni d'une topologie est dit topologique lorsque les applications :

$(x,y) \in G^2 \longmapsto x \star y$ ;
et $x\in G \longmapsto x^{-1}$

sont continues.

Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :

Théorème — Un groupe $(G,\star)$ est un groupe topologique si et seulement si l'application

;

est continue.

Exemples de base

Théorème : Le groupe additif $\mathbb{R}$ . Un sous-groupe de $\mathbb{R}$ est soit dense, soit de la forme $a\mathbb{Z}$ , pour un unique $a\ge 0$ .

Démonstration :

Soit $\operatorname{(\textstyle G,+)}$ sous groupe différent de $\textstyle \{0\}$ . On définit $G^{+} = G \cap ]0;+\infty[$ . On s’intéresse à la borne inférieure de $\operatorname{G^+}\ :\ a = \inf{G^{+}}$ .

Si $a = 0, \exists a_{n}$ une suite de $\textstyle{G^{+}}$ qui converge vers $\textstyle{0}$ . Soit $\varepsilon > 0 , \exists x \in G \cap ]0;\varepsilon[$ tel que $\forall p \in \mathbb{Z}$ , $px \in G$ . Tout intervalle de longueur $\varepsilon$ contient un élément de $\textstyle{G}$ donc $\textstyle{G}$ est dense.

Si $a\neq0$ , $a \in G^{+}$ : en effet, sinon $(\forall \varepsilon > 0)(\exists(x,y) \in G^{+} ) \big((x,y) \in ]a;a+ \varepsilon [^2\ et\ x < y \bigr)$ (car il y a une infinité d’éléments de $\textstyle{G}$ proche de $\textstyle{a}$ . Alors comme $\textstyle{G}$ est groupe, $z = y-x \in G$ et $0 < z < \varepsilon$ donc $z \in G^{+}$ . En supposant que $\varepsilon < a$ , alors $\operatorname{0 < z < a}$ donc $\textstyle{a}$ n’est plus la borne inférieure de $\textstyle{G^{+}}$ . D’où $a = \operatorname{min}\ {G^{+}}$ et $\textstyle{a}$ est isolé : $\forall n$ , les $\textstyle{na}$ sont dans $\textstyle{G}$ car $\textstyle{G}$ est un groupe : $a\mathbb{Z} \subset G$ .

Soit $y \in G \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}$ tel que $na \le y <(n+1)a$ (par le caractère archimédien de $\mathbb{R}$ ).

$y - na \in G$ mais $y - na \in [0;a[$ . Comme $a = \operatorname{min}\ G^{+}$ , $\textstyle {y - na = 0}$ donc $\textstyle {y = na}$ donc $G \subset a \mathbb{Z}$ :

$G=a\mathbb{Z}$

Le cercle $S^1~$ , qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout sous-groupe $S^1~$ est soit fini soit dense.

Un exemple plus sophistiqué est $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\mathbb{N}$ . Ce groupe est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Pour le voir, on a besoin de la notion de produit infini d'espaces topologiques.

Mesure de Haar

Sur tout groupe topologique localement compact et séparable, il existe une et une seule mesure (à coefficient multiplicateur près) invariante par la translation à gauche $\left( \, x \longmapsto y.x \right)$ : la mesure de Haar.

Groupes linéaires

Dorénavant, nous omettrons le signe $\star$ .

Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire $\mathrm{GL}(n,K)~$ , avec $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On les munit de la topologie induite par celle de $\mathrm{End}(K^n)~$ .

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivant : il existe un ouvert contenant l'élement neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Quelques propriétés générales

Dans un groupe topologique, les translations

sont des homéomorphismes.

La topologie est déterminée par la donnée des voisinages de l'élément neutre e.

Un groupe topologique G est séparé ssi le singleton {e} est fermé dans G. Également, G est séparé ssi l'intersection des voisinages de e est réduite à {e}.

si G est séparé alors c'est a fortiori un espace T1, c'est-à-dire que tous ses singletons sont fermés, en particulier le singleton {e}.
Réciproquement, si {e} est fermé alors G est séparé puisque la diagonale de GxG est fermée, comme image réciproque de {e} par l'application continue qui à tout (x,y) associe x.y^-1.
Si G est séparé alors c'est un espace T1, c'est-à-dire que l'intersection des voisinages de tout point x est réduite à {x}, en particulier pour x=e.
Réciproquement, si l'intersection des voisinages de e est réduite à {e} alors {e} est égal à son adhérence donc fermé (donc, d'après ce qui précède, G est séparé). En effet, pour tout x adhérent à {e}, chaque voisinage de x contient e donc (par continuité de la translation) chaque voisinage de e contient x^-1, d'où x^-1=e, c'est-à-dire x=e.

Si $U~$ est une partie ouverte et $A~$ une partie quelconque, $U\star A$ et $A \star U$ sont ouverts, puisque, par exemple, $U\star A= \bigcup_{a\in A}U\star a$ .

Un groupe topologique est naturellement muni de deux structures uniformes (à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif. Un groupe topologique séparé est par conséquent complètement régulier. Tout morphisme continu de groupes topologiques est uniformément continu pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées.

Topologie p-adique

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