Théorème de Krull - Définition et Explications

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Enoncé: soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Alors tout idéal strict de A est contenu dans un idéal maximal.

La démonstration est une application immédiate du lemme de Zorn, qui est équivalent à l'axiome du choix.

En particulier, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi possible...) maximal, a fortiori au moins un idéal premier.

Conséquences

Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.

  • Le spectre de A n'est pas vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).
  • Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
  • Le théorème de Krull (Enoncé: soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Alors tout idéal strict de A est contenu dans un idéal maximal.) permet de construire une clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) d'un corps commutatif (des constructions alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.) se basent sur le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) de Zermelo, équivalent au lemme de Zorn).
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