Théorème de Krull
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Enoncé: soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Alors tout idéal strict de A est contenu dans un idéal maximal.

La démonstration est une application immédiate du lemme de Zorn, qui est équivalent à l'axiome du choix.

En particulier, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde...) maximal, a fortiori au moins un idéal premier.

Conséquences

Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.

  • Le spectre de A n'est pas vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).
  • Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
  • Le théorème de Krull (Enoncé: soit A un anneau commutatif non réduit à 0. Alors tout idéal strict de A est contenu dans un idéal maximal.) permet de construire une clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) d'un corps commutatif (des constructions alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.) se basent sur le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Zermelo, équivalent au lemme de Zorn).
Page générée en 0.038 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique