Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker - Définition et Explications

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En cosmologie, la métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (souvent abrégée FLRW) est une métrique permettant de décrire un univers localement homogène, localement isotrope en expansion ou contraction. Ce modèle est utilisé comme une première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais...) du modèle cosmologique standard de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), le Big Bang (Le Big Bang est l’époque dense et chaude qu’a connu l’univers il y a environ 13,7 milliards d’années, ainsi que l’ensemble des modèles cosmologiques qui la...).

Selon les préférences géographiques ou historiques, le modèle FLRW est parfois désignée selon les noms d'une partie des quatre scientifiques Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker; par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW) ou Robertson-Walker (RW).

Utilisation de la métrique FLRW pour décrire l'univers

Parce que le modèle FLRW suppose que l'univers est homogène, on pourrait en conclure que le modèle du Big Bang ne peut pas prendre en compte les fluctuations de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est...) présentes dans l'univers. En effet dans un modèle strictement FLRW, il n'y a aucun amas de galaxies (Un amas de galaxies est l'association de plus d'une centaine de galaxies liées entre elles par la gravitation. En deçà de 100, on parle plutôt de groupe de galaxies, même si la frontière entre groupe et amas n'est pas...), ni étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.), ni planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en équilibre...), ni êtres biologiques, puisque ces objets sont de loin plus denses que l'Univers en moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient...).

Il n'en est rien, car en réalité, le modèle FLRW est uniquement utilisé comme première approximation à cause de la simplicité qu'il apporte aux calculs; les modèles tenant compte des fluctuations de densité sont ensuite rajoutés au modèle FLRW. La plupart des cosmologistes s'accordent à ce que la partie de l'Univers observable (L'univers observable est un terme utilisé en cosmologie pour décrire la partie visible de notre Univers. Par définition même, la limite de cette partie visible...) est bien approximée par un modèle presque FLRW, c'est-à-dire un modèle qui suit la métrique FLRW à part des fluctuations primordiales de densité. En 2003, les implications théoriques de ces diverses extensions semblent bien comprises et le but est de les rendre cohérentes avec les observations (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande...) effectuées par les satellites (Satellite peut faire référence à :) COBE et WMAP.

Pourtant, au risque d'oublier les différences entre le modèle parfaitement FLRW et le modèle perturbé, le modèle presque FLRW est normalement appelé simplement le modèle FLRW'

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en...) mathématique

En coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est...) (r, \theta, \phi) \;, elle peut être écrite comme :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - k r^2} + r^2 {\rm d}\Omega^2 \right )

ou bien, à l'aide d'un changement de coordonnées pour faire apparaître la distance comobile (Penser la forme de l'Univers dans le contexte du modèle standard du Big Bang est rendu plus simple par l'usage des coordonnées comobiles.) \chi \; :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 ({\rm d}\chi^2 + S_k^2(\chi) {\rm d}\Omega^2 )

  • a(t) \; est le facteur d'échelle de l'univers à l'époque t.
  • Le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) k \; exprime la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) spatiale et peut prendre trois valeurs : +1, 0 ou -1, caractérisant respectivement un espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) fermé (correspondant à une géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures...) sphérique), un espace plat (correspondant à la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de...) usuelle) et une espace courbe ouvert (correspondant à une géométrie hyperbolique)
  • \textstyle {\rm d}\Omega^2 = {\rm d}\theta^2 + \sin^2 \theta \; {\rm d} \phi^2 exprime les contributions de la métrique liées à la "direction" (\theta, \phi) \;. Pour l'étude de l'expansion de l'univers, on prendra souvent {\rm d}\Omega^2 = 0 \;, puisqu'on considèrera les trajectoires radiales des photons (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement...) suivant une géodésique (En géométrie, une géodésique désigne le chemin le plus court, ou l'un des chemins s'il en existe plusieurs, entre deux points d'un espace une fois qu'on s'est donné un moyen de mesurer les distances, c’est-à-dire-une métrique....).
  • \chi \; est défini tel que : \begin{cases} r = \sin \chi   & \textrm{si\ } k = 1 \\ r = \chi       & \textrm{si\ } k = 0\\ r = \sinh \chi  & \textrm{si\ } k = -1\\ \end{cases}\chi \; permet de déterminer la distance comobile.
  • S_k(\chi) = r \; (et peut être exprimée en fonction de χ directement à partir de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) ci-dessus).

Métrique FLRW en fonction des valeurs de la courbure

Métrique FLRW dans un espace plat

Dans le cas où k = 0 \;, on peut ré-écrire la métrique :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 ( {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d} \Omega^2 ) \;

On retrouve ici la valeur classique de la métrique d'un espace usuel doté d'un facteur d'échelle, exprimé en coordonnées radiales (r, \theta, \phi) \;

Métrique FLRW dans un espace de courbure positive

Si k = +1 \;, on a

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )

On voit qu'en r = 1 on a une singularité : on va donc chercher un changement de coordonnées sur l'intervalle ]-1;1[ \; permettant de faire apparaître facilement la distance comobile. En remarquant que \int \frac{{\rm d}r}{\sqrt{1 - r^2}} = \arcsin r, on choisit \chi \; tel que r = \sin(\chi) \;. On obtient alors la nouvelle forme de la métrique :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 ( {\rm d} \chi^2 + \sin^2 \chi \; {\rm d} \Omega^2  ) \;

Métrique FLRW dans un espace de courbure négative

Si k = -1 \;, on a

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 + r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )

En remarquant que \int \frac{{\rm d}r}{\sqrt{1 + r^2}} = \operatorname{arcsinh}\ r, on choisit comme changement de coordonnées \chi \; tel que r = \sinh(\chi) \;. On obtient alors la nouvelle forme de la métrique :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 ( {\rm d} \chi^2 + \sinh^2 \chi \; {\rm d} \Omega^2  ) \;
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