Géométrie euclidienne - Définition et Explications

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Introduction

Euclide.

La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...), d'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) y sont exposées et forment le support des cours de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...) élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) ambiant au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) classique du terme.

Les conceptions géométriques connaissent, depuis les travaux d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...), des évolutions suivant trois axes principaux :

  1. Pour vérifier les critères de rigueur logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...) actuels, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) axiomatique subit de profonds changements, l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) mathématique restant néanmoins le même.
  2. Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'élaboration d'une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) plus puissante, un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. L'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une...) est maintenant défini comme un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) ou affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) réel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) finie muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un...).
  3. Enfin, la structure géométrique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est établi qu'il existe d'autres géométries cohérentes.

Plus de 2000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande...) toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être...) étant l'exception la plus notoire.

Son aspect mathématique est traité de manière didactique dans l'article produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.). L'article se fonde sur la formalisation d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) à l'aide d'un bipoint, développé dans vecteur. Une approche plus poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.), fondée sur la formalisation axiomatique de l'espace vectoriel est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) dans espace euclidien.

L’approche euclidienne de la science de l’espace

La géométrie euclidienne au sens des antiques traités du plan et de l'espace ; elle est souvent présentée comme une géométrie « de la règle et du compas ». Les objets considérés sont les points, les segments, les droites, les demi-droites, avec leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude de figures et la mesure.

Les outils de la géométrie d'Euclide

La construction d'Euclide se fonde sur cinq postulats :

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques distincts.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents.
  5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

Les raisonnements sur les figures géométriques (Les figures géométriques sont un mode d'expression décoratif développé par les civilisations anciennes, basé sur la répétition de figures et motifs suivant un tracé géométrique propre à une iconographie identitaire.) portent sur leurs intersections et leurs dimensions : sur l'incidence et la mesure. De ce point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.), certaines transformations des figures sont utiles ; les plus pertinentes sont les similitudes, c'est-à-dire les transformations qui conservent les rapports des distances. Les similitudes les plus simples sont les rotations, les symétries, les translations, qui conservent les distances, ainsi que les homothéties. À partir de ces quelques objets de base, toutes les similitudes peuvent être construites par composition.

La construction d'Euclide permet le développement des notions de mesure de longueur, d'aire, de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.), d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.). Il existe de nombreuses aires de surfaces usuelles calculables par les techniques des Éléments. Une méthode, la méthode d'exhaustion qui préfigure l'intégration, permet d'aller plus loin. Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien : Ἀρχιμήδης/Arkhimếdês), né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort à...) , par exemple réalise la quadrature de la parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés...). Une limite de la notion de mesure vient de ce que les nombres considérés sont seulement les nombres constructibles (à la règle et au compas).

Les deux théorèmes fondamentaux sont le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la longueur de...) et celui de Thalès. Un peu d'analyse permet d'aller plus loin avec la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...). C'est le premier exemple de construction d'un pont entre la géométrie euclidienne pure et une autre branche mathématique, pour enrichir la palette (La Palette est un café-restaurant situé dans le 6e arrondissement de Paris, au croisement de la rue de Seine et de la rue Jacques-Callot. Ses...) d'outils disponibles.

Approche géométrique de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...)

La formule de l'aire d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) ou d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence...), le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle sectionne...) ainsi que celui de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας / Pythagóras) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île...) offrent tous des relations algébriques entre des grandeurs que sont les côtés d'un triangle ou d'un rectangle. Ces différentes méthodes sont l'un des ingrédients de l'algèbre naissante, initiée par Diophante, et développée par la civilisation arabe.

Le traité d'Al-Khawarizmi, un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) persan du VIIIe siècle, intitulé La transposition et la réduction a pour objectif la résolution d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) quelconque. Sa méthode se fonde sur ce que l'on appelle maintenant les identités remarquables (En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des...), qui, chez lui se démontrent toutes à l'aide de la géométrie euclidienne.

Cette géométrisation de l'algèbre porte ses fruits aussi en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie...), la science des nombres. La première démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) montrant l'existence de grandeurs irrationnels est probablement géométrique. Certains calculs comme la valeur du nième nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) triangulaire ou encore la somme des n premiers cubes d'entiers sont réalisés géométriquement.

Succès et limites

Figure à la règle et au compas : heptadécagone, un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et...) régulier de 17 côtés.

Un objectif de la géométrie euclidienne est la construction de figures à la règle et au compas. L'étude du triangle relève de ce domaine. La richesse des résultats obtenus est illustrée par la liste des éléments (Cet article contient une liste des éléments du tableau périodique classés par nom sur un fond coloré qui dépend de leur série chimique.) remarquables d'un triangle. Une famille de figures emblématiques est celle des polygones réguliers (voir l'article Partage d'une tarte). Ils ne sont cependant pas tous constructibles. Les techniques de construction s'appliquent non seulement au plan, mais aussi à l'espace comme le montre l'étude des polyèdres.

Une spécificité de la géométrie euclidienne réside dans le fait qu'elle n'utilise initialement que peu ou pas du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de théorèmes complexes et puissants d'algèbre ou d'analyse. C'est une mathématique autonome et indépendante, où les preuves proviennent essentiellement de raisonnements purement géométriques. Cependant, pour les cas complexes, comme la construction de la figure ci-contre, d'autres outils, par exemple les polynômes, se révèlent indispensables (cf Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Gauss-Wantzel). Les trois grands problèmes de l'antiquité, à savoir la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant...), à l'aide seulement de la règle et du compas, ne se sont d'ailleurs montrés possibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques : l'arithmétique, algébrique ou analytique.

La géométrie euclidienne a de nombreuses applications. La Renaissance fait largement appel aux techniques des Éléments. L'architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.), la peinture à travers la perspective regorgent d'exemples de cette nature. L'art des entrelacs de Léonard de Vinci est un autre cas d'utilisation. Ces mathématiques servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) aussi à la mesure, à la fois pour les arpenteurs et dans un objectif scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.). Elles permettent à Ératosthène de mesurer la circonférence de la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et...). Les techniques utilisées, dites de triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres points de...) et ayant pour base la trigonométrie, permettent aux marins de connaître leur position.

Application et nouveaux outils : espace euclidien et physique

Système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de lui (autrement dit, notre système...) (tailles et distances relatives non à l'échelle).

À partir du XVIe siècle les mathématiques s'éloignent de plus en plus de la géométrie du triangle. La géométrie euclidienne garde son utilité car elle modélise avec pertinence le monde (Le mot monde peut désigner :) physique ambiant.

Cependant, l'approche purement antique devient trop restrictive. Elle n'offre pas un cadre suffisant pour le développement des mathématiques. Pour étudier les coniques Blaise Pascal (Blaise Pascal, né le 19 juin 1623 à Clairmont (aujourd'hui Clermont-Ferrand), en Auvergne et mort le 19 août 1662 à Paris, est un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe,...) utilise un nouvel outil : le repère. Il s'avère précieux à la naissance du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique...). Avec le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) l'algèbre et l'analyse deviennent prédominantes : de nouvelles techniques, éloignées de celles héritées d'Euclide, sont développées. En ce qui concerne la modélisation de l'espace physique, ces nouveautés sont utilisées dans le cadre d'une géométrie peu formalisée, néanmoins avec un large succès. Les théories datant d'avant le XXe siècle se contentent de ce cadre. Encore maintenant, et dans un contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept...) très général, la géométrie usuelle de la physique reste euclidienne. Elle permet des résultats spectaculaires, comme la mécanique newtonienne (La mécanique newtonienne est une branche de la physique. Depuis les travaux d'Albert Einstein, elle est souvent qualifiée de mécanique classique.).

Ce n'est qu'en 1915, qu'une autre géométrie, celle de la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une...), explique mieux un phénomène, celui de l'avance du périhélie (Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché du Soleil (grec : helios) autour duquel il tourne.) de Mercure. La géométrie euclidienne reste maintenant valable à trois exceptions près :

  • les distances astronomiques, dans le cadre de la relativité générale ;
  • les vitesses proches de la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de 380nm (violet) à 780nm (rouge). La lumière est intimement...), avec la géométrie de la relativité restreinte ;
  • les dimensions inférieures à la taille des particules, dans le cadre de certaines théories contemporaines comme les supercordes.

Si la modélisation de la géométrie de l'espace reste souvent la même que celle de l'Antiquité (aux exceptions déjà citées près), la formalisation change radicalement.

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