Fonction eta de Dirichlet
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La fonction eta de Dirichlet peut être définie par

\zeta\, est la fonction zeta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zeta. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe s avec une partie réelle positive, donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

Tandis que ceci est convergent ( en astronautique, convergent en mathématiques, suite convergente série convergente ) seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...) d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent (Servent est la contraction du mot serveur et client.) à définir la fonction eta comme une fonction entière, et montre que la fonction zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de Riemann.) est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1.

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^s}{\exp(x)+1}\frac{dx}{x}

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction eta comme une transformation de Mellin.

Hardy a donné une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) simple de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le...) pour la fonction eta, qui est

\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1).

A partir de cela, on a immédiatement l'équation fonctionnelle de la fonction zeta (ZETA est un système d'exploitation de la société allemande YellowTAB. Il est une évolution de BeOS.) également, cela nécessite d'étendre la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la fonction eta au plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) entier.

Méthode de Borwein

Peter Borwein a utilisé des approximations impliquant les polynômes de Tchebychev pour concevoir une méthode pour une évaluation efficace de la fonction eta. Si d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!} alors

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),

où le terme erroné \gamma_n\, est borné par

\gamma_n(s) \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|t|)\exp(|t|\pi/2)

t = \Im(s)\,.

Publications

Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34 ou http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

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