Fonction zeta de Lerch
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En mathématiques, la fonction zeta de Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zeta d'Hurwitz et le polylogarithme. Elle est donnée par

L(\lambda, \alpha, s) = \sum_{n=0}^\infty \frac { e^{2\pi i\lambda n}} {(n+\alpha)^s}

La fonction zeta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, qui est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par

\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s}\,

par

\Phi(e^{2\pi i\lambda}, s,\alpha)=L(\lambda, \alpha,s)\,

Cas particuliers

La fonction zeta (La fonction zeta (d'après la lettre grecque zêta, ou ζ) est le nom de nombreuses fonctions en mathématiques. La plus connue est la fonction zeta de...) d'Hurwitz est un cas particulier, donnée par

\zeta(s,\alpha)=L(0, \alpha,s)=\Phi(1,s,\alpha)\,

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zeta de Lerch (En mathématiques, la fonction zeta de Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zeta d'Hurwitz et le polylogarithme. Elle est donnée par), donné par

\textrm{Li}_s(x)=z\Phi(z,s,1)\,

La fonction chi de Legendre (En mathématiques, la fonction chi de Legendre est définie par) est un cas particulier, donnée par

\chi_n(z)=2^{-n}z \Phi (z^2,n,1/2)\,

La fonction zeta de Riemann est le cas particulier suivant :

\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)

Enfin, la fonction eta de Dirichlet (La fonction eta de Dirichlet peut être définie par) admet l'expression

\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)
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