Dérivée extérieure - Définition
En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de plus haut degré. Elle est importante dans la théorie d'intégration des variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et de Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.
Définition
La dérivée extérieure d'une forme différentielle de degré k est une forme différentielle de degré k + 1.
Pour ω = fI dxI de forme k sur Rn, la définition est la suivante:
Pour les formes k générales: ΣI fI dxI (où le multi-indice I dépasse tous les sous-ensembles ordonnés de {1, ..., n} de cardinalité k), nous ne faisons qu'étendre linéairement. Notez que si i = I ci-dessus alors
Propriétés
La différentiation extérieure satisfait trois propriétés importantes:
- la linéarité
- la règle du produit extérieur (voir antidérivation)
- et d2 = 0, une formule codifiant l'égalité des dérivées partielles mixtes, tel que
Il peut être montré que cette dérivée extérieure est uniquement déterminée par ces propriétés et son accord avec la différentielle sur les formes 0 (fonctions).
Le noyau de d contient les formes closes, et l'image des formes exactes (cf. différentielle exacte).
Formule invariante
Étant donné ω de forme k et des champs vectoriels arbitraires lisses V0,V1, …, Vk nous avons
![+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e750cbb8aed8b19f3c3b86d5c0f1fab8_11e3d55bdc6461aafbe7e607d25992fb.png)
où
![[V_i,V_j]\,\!](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/2db3afadb73ddd689dd18cb0a65c5897_4f3f7352b73eebc3183c0561968b6e67.png)
En particulier, pour les formes 1 nous avons:
- dω(X,Y) = X(ω(Y)) − Y(ω(X)) − ω([X,Y]).
