Application linéaire
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En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui " préserve les combinaisons linéaires ".

Définitions

Soit

ƒ : EF

une application où E et F sont deux \mathbb K espaces vectoriels.

ƒ est une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la...) (ou morphisme de \mathbb K espaces vectoriels) si :
  • \forall x \in E , \forall y \in E , f(x+y) = f(x) + f(y)
  • \forall \lambda \in \mathbb K, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x)

Une application possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...), homogène.

ƒ est un isomorphisme si :
  • ƒ est un morphisme
  • ƒ est bijective
ƒ est un endomorphisme si :
  • ƒ est un morphisme
  • F = E
ƒ est un automorphisme si :
  • ƒ est un endomorphisme
  • ƒ est bijective
Si F = \mathbb K, on parle de forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est...).

On note

  • L_{\mathbb K}(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F ;
  • Isom_{\mathbb K}(E,F) l’ensemble des isomorphismes de E dans F;
  • L_{\mathbb K}(E) l’ensemble des endomorphismes de E;
  • GL_{\mathbb K}(E) (appelé aussi le groupe linéaire) l’ensemble des automorphismes de E.

Comme son nom l'indique, le groupe linéaire, muni de la composition, est un groupe.

Noyau et Image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, on définit le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ) (kern signifie " noyau " en allemand), et l’image de ƒ, notée Im(ƒ), par

\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E:f(x)=0\,\}
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x):x\in E\,\}

ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel de E et im(ƒ) est un sous-espace de F.

La formule suivante, valable pour un espace E de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) finie, est souvent utile :

\dim(\operatorname{Ker}( f ))  + \dim(\operatorname{Im}( f ))  = \dim( E ) \,.

Elle est aussi appelée théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) du rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau...).

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) dim( Im(ƒ) ) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ). Si E et F sont de dimension finie et ƒ est représenté par la matrice A, alors le rang de ƒ est égal au rang de la matrice A ; une telle applicaiton linéaire est un tenseur d'ordre 2, une fois covariant, une fois contravariant.

Exemples

  • la fonction linéaire (Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers d'applications linéaires.) " habituelle " : f : x \mapsto a\cdot xa est un scalaire ;
  • les combinaisons linéaires de vecteurs
  • l’application dérivation :
    d : D(\mathbb{R},\mathbb{R}) \to F(\mathbb{R},\mathbb{R})
    f\quad   \mapsto\quad   f'

Théorèmes

  • Théorème de Banach-Steinhaus
  • Théorème de Hahn-Banach
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