Fonction linéaire - Définition et Explications

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Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....)

Dans les mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans...), les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers d'applications linéaires.

Elles traduisent la proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en...).

Par exemple, on dira que le prix d'un plein d'essence est fonction linéaire (Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus...) du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de litres mis dans le réservoir car :

  • pour un litre (Le litre (du grec λίτρα lítra, ancienne mesure de capacité...), on paie 1,10 euros
  • pour 2 litres on paie 2,20 euros
  • pour 10 litres on paie 11 euros
  • pour 100 litres on paie 110 euros

et pour x litres on paie 1,1 x euros.

Reconnaître une fonction linéaire

Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :

\begin{matrix}f: & \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ & x\mapsto y\\\end{matrix} avec y = a × x

où le nombre a est un réel quelconque. Ce réel a s'appelle le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain...) de proportionnalité.

En repartant de l'égalité y=a\times x, on voit que, pour x différent de 0, on peut diviser les deux côtés par x. Il vient donc

a=\frac{y}{x}.

Il suffit donc d'une valeur x non nulle et de son image y pour déterminer la valeur du coefficient de proportionnalité.

Représentation dans le plan

La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des points de coordonnées (x ; y) tels que y = f(x).

Les fonctions linéaires définies de \R dans \R se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l'origine du repère. En effet, si M est un point (Graphie) de la représentation graphique tel que x = 0, il vient nécessairement y = 0.

L'élément graphique important est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il correspond au coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce coefficient directeur : si M (x ; y) est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme précédemment y = a\times x, puis par division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) par x (non nul)

a=\frac{y}{x}.

Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un...) de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

Par exemple :

  • si a = 1, la droite fait un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de 45° avec l'axe des abscisses ;
  • si a = 2, la droite monte plus fortement que pour a = 1 ;
  • si a = 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
  • si a = -1, la droite descend.

Dans un quadrillage à l'unité, le coefficient directeur correspond au nombre de carreaux parcourus sur l'axe des ordonnées lorsqu'on se déplace d'un seul carreau sur celui des abscisses.

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