Procédé de Gram-Schmidt
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En algèbre linéaire, le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour orthonormaliser une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

À partir d'une famille libre (v_1,...,v_n) \,, on construit une famille orthonormale (e_1,...,e_n) \, qui engendre les mêmes espaces vectoriels successifs :

pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) j inférieur à n, F_j=\mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_j)=\mathrm{Vect}(v_1, \dots, v_j).

L'étape générale de l'algorithme consiste à soustraire au vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication...) vj + 1 sa projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) orthogonale sur l'espace Fj. On s'appuie sur la famille orthonormale déjà construite pour le calcul de projection.

Le procédé peut également être appliqué à une famille libre de vecteurs indexée par \mathbb{N}.

Cette méthode a été nommée en hommage à Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, mais elle est plus ancienne, et est retrouvée dans des travaux de Laplace et Cauchy.

Procédé de Gram-Schmidt (En algèbre linéaire, le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour orthonormaliser une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.)

Nous définissons l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de projection sur une droite vectorielle par :

\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.

Le procédé de Gram-Schmidt est alors :

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over ||\mathbf{u}_1||}
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2, \mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over ||\mathbf{u}_2||}
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3, \mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over ||\mathbf{u}_3||}
\vdots \vdots
\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k, \mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over||\mathbf{u}_k||}
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