Clothoïde
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Clothoïde
Clothoïde

La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.

Elle est également appelée spirale de Cornu, en référence à Alfred Cornu, le physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien...) français qui l'a inventée. Plus rarement, elle peut apparaître sous le nom de radioïde aux arcs, spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle...) d'Euler ou spirale de Fresnel.

Étymologie

Le mot clothoïde vient du grec klothein : filer (la laine), la forme de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) rappelant celle du fil qui s'enroule autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) du métier à tisser. La même racine apparaît dans le nom de Clotho, celle des trois Parques qui tient le fil des destinées humaines.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

La courbe peut être définie paramétriquement par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) suivante :

\left\{\begin{matrix}  x(t)=k\int_0^t \sin u^2\,du \\ y(t)=k\int_0^t \cos u^2\,du \end{matrix}\right.

On voit que l'Intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) de Fresnel entre en jeu dans son calcul.

On peut également la définir par une équation intrinsèque :

2R_c.s=k^2\,, où Rc représente le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) et s l'abscisse curviligne.

Propriétés et applications

En cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des...), la propriété fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la clothoïde se traduit par " une trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) qui, parcourue à vitesse (On distingue :) constante, est telle que sa courbure varie linéairement ". La force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) centrifuge subie par un observateur circulant de façon continue le long de cette courbe varie donc continûment.

Concrètement, elle représente la trajectoire d'une automobile (Une automobile, ou voiture, est un véhicule terrestre se propulsant lui-même à l'aide d'un moteur. Ce véhicule est conçu pour le transport terrestre de personnes ou de marchandises, elle est équipée en conséquence....) se déplaçant à vitesse stabilisée et dont on tourne le volant progressivement. C'est donc la trajectoire la plus " confortable ", celle que l'on adopte pour le tracé des autoroutes. En pratique, on n'utilise cette courbe que pour assurer le raccordement progressif d'un alignement droit et d'un arc de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur...). Pour plus d'information, on se reportera à l'article sur le tracé en plan d'une route (Le mot « route » dérive du latin (via) rupta, littéralement « voie brisée », c'est-à-dire creusée dans la roche, pour ouvrir le chemin.).

Cette forme est également adaptée aux fins de courbes dans les tracés des chemins de fer (Le fer est un élément chimique, de symbole Fe et de numéro atomique 26. C'est le métal de transition et le matériau...) parce qu'un véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un point à un autre.) suivant ce tracé à une vitesse constante subit une accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle...) angulaire constante, ce qui réduit à la fois les efforts sur les rails et l'inconfort des passagers dans les voitures (Une automobile, ou voiture, est un véhicule terrestre se propulsant lui-même à l'aide d'un moteur. Ce véhicule est conçu pour le transport terrestre de personnes...).

Enfin, les sabots montés sur les pylones de téléphériques, et qui supportent le cable porteur, adoptent cette forme. De fait, il est possible de faire circuler la cabine (Sur un bateau, une cabine désigne une pièce d'habitation pour une ou plusieurs personnes. Une cabine peut prendre plusieurs aspects : sur un grand navire, elle prend l'apparence d'un chambre d'hôtel pour les passagers et d'une chambre...) à sa vitesse maximale sur le pylone, sans incommoder les passagers.

De même cette courbe est utilisée pour les boucles verticales ou loopings dans les montagnes russes (Les montagnes russes[1], sont des attractions mettant en scène des trains parcourant des trajets sinueux et dénivelés dans le but de créer une sensation de...) pour le confort des passagers, afin que l'accélération verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) subie soit continue.

D'autre part, une fois la clothoïde tracée, on peut en déduire des valeurs approchées d'expressions intervenant dans le calcul de la vibration résultante lors des phénomènes de diffraction (La diffraction est le comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle qui ne leur est pas complètement transparent ; le phénomène peut être interprété par la...). C'est la raison de l'utilisation de cette courbe par le physicien Alfred Cornu. Néanmoins, les moyens de calcul actuels l'ont fait tomber en désuétude pour cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.).

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