Spirale - Définition et Explications

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Introduction

La spirale est une forme fréquente dans le monde animal et végétal, chez les gastéropodes par exemple

En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point (Graphie) central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) qu'elle tourne autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...).

Le terme spirale se réfère en général à une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un...). Lorsqu'une spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en...) se développe en trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), on parle plutôt d'hélice (Hélice est issu d'un mot grec helix signifiant « spirale ». Un objet en forme...).

Étymologie

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La spirale est un des motifs qui semblent avoir fasciné l'homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo...) depuis la préhistoire, des gravures celtes aux tatouages polynésiens
Escaliers formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de...) une spirale

En latin spira ou en grec speira, ce mot désigne un enroulement (Un enroulement en électrotechnique est un conducteur électrique isolé bobiné (enroulé autour...).

Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.) les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.

Spirales à centres multiples

L'éloignement progressif d'une spirale dépend du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) des centres qui ont servi à la former. Il y a des spirales :

  • à 2 centres qui sont situés sur une même ligne,
  • à 3 centres qui sont situés aux trois sommets d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) équilatéral,
  • à 4 centres qui sont situés aux quatre sommets des angles d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...).

Spirales à deux dimensions

Une spirale à deux dimensions se décrit facilement à l'aide de coordonnées polaires : le rayon r est donné par une fonction continue et monotone de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) θ. Le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) en est alors un cas dégénéré.

Il existe plusieurs types de spirales à deux dimensions. Voici les plus importantes :

  • La spirale d'Archimède : r=a+b\cdot \theta ~
  • La spirale hyperbolique : r=\frac{a}{\theta} ~
  • La spirale logarithmique : r=a\cdot b^\theta ~
  • La spirale de Fermat : r=\sqrt{\theta}
  • La spirale de Nielsen
  • La spirale de Cotes
  • La spirale de Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...)
  • La spirale de Fibonacci : cas particulier de la spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :) construite avec une suite de Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...)

Une spirale a nécessairement une infinité de spires distinctes; le rayon polaire peut croître indéfiniment avec l'angle, ou tendre vers une limite finie; dans ce dernier cas, la spirale est asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles...) à un cercle et même parfois à une droite (spirale hyperbolique).

Exemples

Spirale triple, constituant la figure du triskel des celtes.
Mouvement contraint de 2 spirales d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien :...) l'une dans l'autre, qui évoque schématiquement le principe de certaines pompes. Le point de contact entre les 2 spirales se déplace lui-même en suivant le dessin de la spirale rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...).

En botanique (La botanique est la science consacrée à l'étude des végétaux (du grec...), la spirale est présente dans la disposition des graine (Dans le cycle de vie des « plantes à graines », la graine est la structure qui...) du tournesol (Le tournesol, ou grand soleil, est une grande plante annuelle, appartenant à la famille des...), ou dans le point d'insertion des feuilles sur la tige (La tige est chez les plantes, l'axe généralement aérien, qui prolonge la racine et...) (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).

Culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :)

  • la spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc)
  • Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement...), qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose (Le terme hypnose désigne un état modifié de conscience ainsi que les techniques...). C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
  • En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent - selon le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) - la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.

Construction

Un procédé simple permet de tracer d'un mouvement continu une spirale relativement régulière, par exemple pour la décoration de jardins : Il suffit d'enrouler un cordeau (Le cordeau est un outil de jardin ou du bâtiment.) attaché à un piquet planté au centre désigné de la spirale. En déroulant ensuite le cordeau autour du piquet en le gardant tendu, une pointe maintenue verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le...) et attachée au bout de ce cordeau permet de tracer au sol une spirale au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île...) à mesure que le cordeau se déroule. Dans ce procédé, les spires de la ligne tracée sont évidemment d'autant plus écartées, que le piquet central est plus gros. On obtient une (approximation de) développante du cercle

Construction d'une fausse spirale (ou spirale approximative) sur une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux...) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres...)

Avec un compas et une règle :

  1. Tracer une droite qui partage la feuille en deux parties égales.
  2. Placer deux points A1 et A2 sur la droite aux environs du centre de la feuille. La distance entre le point A1 et le point A2 paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) la concentration de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...). Plus cette distance est courte, plus la spirale sera concentrée.
  3. Piquer (Le verbe « piquer » a de nombreuses acceptions :) le compas sur le point A1. L'écarter de la distance A1A2.
  4. Tracer le demi-cercle d'origine A2. Noter A3 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
  5. Piquer le compas sur le point A2. L'écarter de la distance A2A3.
  6. Tracer le demi-cercle d'origine A3. Noter A4 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
  7. Piquer le compas sur le point A3. L'écarter de la distance A3A4.
  8. Tracer le demi-cercle d'origine A4. Noter A5 le point issu de l'intersection entre le demi-cercle et notre droite.
  9. etc.

Le résultat est une spirale construite à partir de demi-cercles dont le rayon augmente de la distance A1A2 à chaque fois.

Plusieurs variantes sont possibles et combinables :

  • le rayon de chaque demi-cercle n'est pas augmenté d'une valeur constante, mais double ;
  • tracer des quarts de cercles au lieu de demi-cercles (nécessite deux droites perpendiculaires). Ou des tiers de cercles, avec un triangle équilatéral qui détermine trois demi-droites.
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