Hyperbole (mathématiques)
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L′hyperbole est une figure géométrique de la famille des coniques caractérisée par une excentricité supérieure à 1.

On obtient une hyperbole en prenant l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan, le plan interceptant les deux branches du cône. Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes. Bien que l'illustration ci-contre montre un plan vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.), tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) plus faible que celui des génératrices du cône est acceptable.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) monofocale de l'hyperbole

Soient D une droite et F un point (Graphie) n'appartenant pas à D, et soit P le plan contenant la droite D et le point F. On appelle hyperbole de droite directrice D et de foyer F l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des points M du plan P vérifiant :

\qquad \frac{d(M,F)}{d(M,D)} = e \qquad e > 1

d(M,F) mesure la distance du point M au point F et d(M,D) mesure la distance du point M à la droite D.

La constante e est appelée excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.) de l'hyperbole.

Définition bifocale de l'hyperbole

La tangente en M est aussi une bissectrice.
La tangente en M est aussi une bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet...).

Soient F et F' deux points distincts du plan. On appelle hyperbole de foyers F et F' l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

\qquad \mid d(M,F) - d(M,F') \mid = 2a \qquad a \in\mathbb{R}

L'axe focal est le nom de la droite portant les deux foyers : c'est l'un des deux axes de symétrie de l'hyperbole, le seul qui la coupe. Pour cette raison, on le nomme aussi axe transverse et ses points communs avec la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) sont les sommets. Le réel a de la définition ci-dessus apparaît comme la moitié de la distance entre les sommets.

En chaque point M de cette hyperbole, la bissectrice du secteur angulaire (FMF′) se trouve être la tangente en M à la courbe.

Équations

Représentation graphique de la fonction 1/x'
Représentation graphique de la fonction 1/x'

L'hyperbole dont l'expression mathématique est la plus simple est la représentation graphique de la fonction f définie par f(x) = 1/x.

Cette hyperbole, ainsi que celles dont une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) cartésienne est de la forme x2-y2 = a2 sont dites équilatères parce que leurs deux asymptotes sont orthogonales. Leur excentricité vaut \sqrt{ 2 }.

Plus généralement, dans un repère dont les axes sont de symétrie pour l'hyperbole, l'axe transverse pour axe des abscisses, l'équation cartésienne se met sous la forme

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

donnant alors les représentations paramétriques

t \mapsto (a \, cosh(t), b \, sinh(t)) et t \mapsto (-a \, cosh(t), b \, sinh(t))

pour chacune des branches.

Matérialisation d'une hyperbole

  • Lorsqu'une lampe munie d'un abat-jour est placée non loin d'un mur (Un mur est une structure solide qui sépare ou délimite deux espaces.) vertical, la courbe qui délimite, sur le mur, la zone éclairée et la zone ombragée est un arc d'hyperbole.
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